3山形大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$S$ をx軸に関する反射行列とする。 $$S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad R(u)=\begin{pmatrix}\cos u&-\sin u\\\sin u&\cos u\end{pmatrix}.$$ 加法定理を使って行列を掛けると $R(u)R(v)=R(u+v)$。また、左右から $S$ を掛けると $$SR(u)S=\begin{pmatrix}\cos u&\sin u\\-\sin u&\cos u\end{pmatrix}=R(-u).$$ 直線 $y=(\tan\theta)x$ の方向角は $\theta$。その直線で反射するには、まず $-\theta$ 回転して直線をx軸に重ね、x軸反射 $S$ を行い、最後に $\theta$ 回転して戻せばよい。従って $$A(\theta)=R(\theta)S R(-\theta) =\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}.$$

(1) この式を使い、積を順にまとめると $$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta) =R(-\theta)R(\theta)S R(-\theta)R(\theta)=S.$$ よって $$XR(s)X=SR(s)S=R(-s).$$ したがって条件を満たす角は $\boxed{t\equiv-s\pmod{2\pi}}$（例えば $t=-s$）である。

(2) $A(\alpha)A(\beta)$ に $A$ の式を代入する。 $$\begin{aligned} A(\alpha)A(\beta) &=R(\alpha)S R(-\alpha)R(\beta)S R(-\beta)\\ &=R(\alpha)S R(\beta-\alpha)S R(-\beta)\\ &=R(\alpha)R(\alpha-\beta)R(-\beta)\\ &=R\bigl(2(\alpha-\beta)\bigr)\\ &=\boxed{\begin{pmatrix} \cos2(\alpha-\beta)&-\sin2(\alpha-\beta)\\ \sin2(\alpha-\beta)&\cos2(\alpha-\beta) \end{pmatrix}}. \end{aligned}$$ ここでは $SR(u)S=R(-u)$ と、回転行列の積の加法公式を使った。

(3) $\delta=\alpha-\beta$ とおく。 (2) と逆順の積の式から、可換条件は $R(2\delta)=R(-2\delta)$。左右の行列の右上成分を比べると $-\sin2\delta=\sin2\delta$、すなわち $\sin2\delta=0$。これは $\delta=k\pi/2$（整数 $k$）と同値である。仮定より $0<\beta<\pi/2<\alpha<\pi$ だから $0<\delta<\pi$。この範囲にあるのは $\delta=\pi/2$ だけであり、 $$\displaystyle \boxed{\alpha-\beta=\frac\pi2}$$ が必要十分条件となる。

(4)① $u=\tan\alpha$、$v=\tan\beta$ とおく。点 $(u,v)$ が与えられた曲線上にあるので $$\displaystyle v=\frac{3u-1}{u+3}.$$ 差の公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \tan(\alpha-\beta) &=\frac{u-v}{1+uv}\\ &=\frac{\dfrac{u^2+1}{u+3}}{\dfrac{3(u^2+1)}{u+3}} =\boxed{\frac13}. \end{aligned}$$

② $\delta=\alpha-\beta$ とする。倍角公式より $$\displaystyle \cos2\delta=\frac{1-\tan^2\delta}{1+\tan^2\delta}=\frac45, \qquad \sin2\delta=\frac{2\tan\delta}{1+\tan^2\delta}=\frac35.$$ これを(2)に代入すると $$\displaystyle \boxed{A(\alpha)A(\beta)= \begin{pmatrix}\frac45&-\frac35\\[2pt]\frac35&\frac45\end{pmatrix}}.$$