I順天堂大学 2011年 数学 第I問解答・解説

agraph{(1) 行列。}積の各成分を行と列の内積で求めると $$\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&1\\-1&0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&-2\\4&-3\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\-6&5\end{pmatrix}.$$ 次に $BA=C$ の第1列について、$A$ の第1列を $(u,v)^T$ とおく。第3行から $-u+v=6$、第1行から $3u-2v=-7$ なので $u=5,v=11$。第2列を $(s,t)^T$ とすると、同様に $-s+t=10$、$3s-2t=-23$ から $s=-3,t=7$。従って $A=\begin{pmatrix}5&-3\\11&7\end{pmatrix}$。積に戻して照合すると所与の右辺になる。

agraph{(2) 極座標と面積。}最初の面積は $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}8\cos^2\theta\,d\theta=4\pi.$$ また $\sin3\theta\ge0$ は ある整数 $k$ について $2k\pi\leq3\theta\leq(2k+1)\pi$ となることと同値なので、指定区間では $$0\leq\theta\leq\pi/3,\quad2\pi/3\leq\theta\leq\pi,\quad4\pi/3\leq\theta\leq5\pi/3$$ となる。各区間の面積は置換 $u=3\theta$ を使って $$\displaystyle \frac12\int_0^{\pi/3}\sin^2(3\theta)\,d\theta =\frac16\int_0^\pi\sin^2u\,du=\frac{\pi}{12}.$$ 同じ面積の葉が3枚あるから全体は $\pi/4$。

agraph{(3) 漸化式と級数。} $a_n=\alpha^{n-1}$ であり、与式を $b_{n+1}=\beta b_n+(1-\beta)a_n$ と書き直す。$\alpha=1/2,\beta=-1/2$ のとき $$\displaystyle b_n=\frac32\left(\frac12\right)^{n-1}-\frac52\left(-\frac12\right)^{n-1},$$ これは初項 $b_1=-1$ と漸化式を満たす。従って等比級数の和から $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}b_n=\frac{3/2}{1-1/2}-\frac{5/2}{1+1/2}=\frac43.$$ 次に $\alpha=\beta=1/3$ とする。$c_n=b_n/(1/3)^{n-1}$ とおくと、漸化式から $c_{n+1}=c_n+2$、$c_1=-1$ なので $c_n=2n-3$。よって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}b_n=\sum\limits _{n=1}^{\infty}(2n-3)\left(\frac13\right)^{n-1} =\frac{2}{(1-1/3)^2}-\frac{3}{1-1/3}=0.$$ 二つ目も $n(1/3)^{n-1}$ の形の項を含むが、等比数列より速く減衰するため収束する。

agraph{(4) 正五角形。} $c=\cos(\pi/5)$ とする。三倍角公式と問題の等式から $$2c^2-1=-(4c^3-3c),\quad (c+1)(4c^2-2c-1)=0.$$ $0<c<1$ より $c=(1+\sqrt5)/4$。対角線の長さは、辺長1の正五角形の対角線と辺の比が黄金比 $\varphi=2\cos(\pi/5)=(1+\sqrt5)/2$ なので $|\vec d|=\varphi$。また辺ベクトルの向きは連続して $72^\circ$ ずつ回るから、座標を $\vec b=(1,0)$ と取ると $$\displaystyle \vec d=(1+\cos72^\circ+\cos144^\circ,\sin72^\circ+\sin144^\circ) =\left(\frac12,\varphi\sin72^\circ\right).$$ 従って $\vec b\cdot\vec d=1/2$。さらに $\overrightarrow{AE}$ は最後の辺 $\overrightarrow{EA}$ と逆向きなので $\overrightarrow{AE}=(-\cos72^\circ,\sin72^\circ)$。これを $u\vec b+v\vec d$ と表すと、縦成分より $v=1/\varphi=(\sqrt5-1)/2$、横成分より $u=-\cos72^\circ-v/2=(1-\sqrt5)/2$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac{1-\sqrt5}{2}\vec b+\frac{\sqrt5-1}{2}\vec d.$$

agraph{(5) 箱への分配。}同じ文字のカードは同種として扱う。Aカード5枚だけを区別しない3箱へ分ける場合、箱のA枚数（順序を無視）は $$(5,0,0),\ (4,1,0),\ (3,2,0),\ (3,1,1),\ (2,2,1)$$ の5通りである。

A枚数が全て異なる $(4,1,0)$ と $(3,2,0)$ では、A枚数により箱を識別できる。各配置について、Bカード3枚を3箱へ分ける方法は $b_1+b_2+b_3=3$ の非負整数解なので $\displaystyle \binom52=10$ 通り。

残る $(5,0,0)$、$(3,1,1)$、$(2,2,1)$ の各配置では、A枚数が一意な箱が1つあり、同じA枚数の2箱は入替えても同じ分け方である。一意な箱にBを $t$ 枚入れると、残りの2箱に入るB枚数の和は $3-t$。和が $N$ の非負整数の順序を無視した2数組の個数は $\lfloor N/2\rfloor+1$ なので、$t=0,1,2,3$ に対する個数は $2,2,1,1$、合計6通り。この3つのA配置それぞれに6通りずつある。従って箱を区別しないA・Bカードの分け方は $$10+10+6+6+6=38$$ 通りである。場合はA枚数の5つの分割で重ならず、各場合のB配分も同じA枚数を持つ箱の交換を除いて数えた。