III順天堂大学 2011年 数学 第III問解答・解説

(1) 整式 $f(x)$ を $x-a$ で割った商を $q(x)$、余りを $r$ とする。余りの次数は1未満なので定数であり、割り算の等式は $$f(x)=(x-a)q(x)+r$$ と書ける。ここで $x=a$ を代入すると $f(a)=r$。したがって、整式 $f(x)$ を $x-a$ で割った余りは $f(a)$ である。

(2) 整式の割り算により $f(x)=(x-a)q(x)+r$（$q(x)$ は整式、$r$ は定数）と表される。両辺に $x=a$ を代入すると $$f(a)=(a-a)q(a)+r=r$$ となる。よって余りは $f(a)$ であり、剰余の定理が示された。

(3) $a$ が $f(x)=0$ の解ならば $f(a)=0$。剰余の定理によると、$f(x)$ を $x-a$ で割った余りは0である。したがって、ある整式 $g(x)$ が存在して $$f(x)=(x-a)g(x)$$ と書ける。ゆえに $f(x)$ は $x-a$ で割り切れる。

(4) $f(a)=0$ なので、(3)よりある整式 $g(x)$ を用いて $f(x)=(x-a)g(x)$ と書ける。これを微分すると $$f'(x)=g(x)+(x-a)g'(x)$$ であるから、$x=a$ を代入して $f'(a)=g(a)$ を得る。仮定 $f'(a)=0$ より $g(a)=0$。再び (3) を $g(x)$ に適用すると、ある整式 $h(x)$ が存在して $g(x)=(x-a)h(x)$ と書ける。したがって $$f(x)=(x-a)^2h(x),$$ すなわち $f(x)$ は $(x-a)^2$ で割り切れる。