II順天堂大学 2011年 数学 第II問解答・解説

直線 $x+y=s_0$ と楕円の交点では $y=s_0-x$ である。これを楕円の式に代入すると $$25x^2-30s_0x+12s_0^2=4$$ を得る。2交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係より $\displaystyle x_1+x_2=\frac65s_0$。したがって交点の中点 $(x_m,y_m)$ は $$\displaystyle x_m=\frac35s_0,\qquad y_m=s_0-x_m=\frac25s_0$$ を満たすから $\displaystyle x_m-\frac32y_m=0$。よって $\boxed{\text{ア}}=3,\ \boxed{\text{イ}}=2$。

$\displaystyle s=x+y,\ t=x-\frac32y$ とおくと、逆に $$\displaystyle x=\frac{3s+2t}{5},\qquad y=\frac{2s-2t}{5}.$$ これを楕円の左辺に代入して整理すると $$7x^2-6xy+12y^2=3s^2+4t^2,$$ ゆえに $$\displaystyle C':\quad s^2+\frac43t^2=\frac43.$$ したがって $\boxed{\text{ウ}}=4,\ \boxed{\text{エ}}=3,\ \boxed{\text{オ}}=4,\ \boxed{\text{カ}}=3$。

$|s|\le1$ では楕円の上側・下側の境界は $$\displaystyle t=\pm\sqrt{1-\frac34s^2}$$ だから、$s$ を固定したときの $t$ 方向の幅は $$\displaystyle 2\sqrt{1-\frac34s^2}=\sqrt{3\left(\frac43-s^2\right)}.$$ よって積分は $\boxed{\text{キ}}=3,\ \boxed{\text{ク}}=4,\ \boxed{\text{ケ}}=3$ に対応する。積分値を求めるため $\displaystyle s=\frac2{\sqrt3}\sin\theta$ とおくと、$s=-1,1$ はそれぞれ $\displaystyle \theta=-\frac\pi3,\frac\pi3$ に対応し、$\displaystyle ds=\frac2{\sqrt3}\cos\theta\,d\theta$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1}\sqrt{4-3s^2}\,ds &=\frac4{\sqrt3}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\frac4{\sqrt3}\left[\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} =1+\frac{4\sqrt3}{9}\pi. \end{aligned}$$ 従って $\boxed{\text{コ}}=4,\ \boxed{\text{サ}}=3,\ \boxed{\text{シ}}=9,\ \boxed{\text{ス}}=1$。

面積の倍率を調べる。$(s,t)$ 平面の単位正方形の辺は、$(x,y)$ 平面では $\displaystyle \left(\frac35,\frac25\right)$ と $\displaystyle \left(\frac25,-\frac25\right)$ を辺ベクトルとする平行四辺形に移る。その面積は $$\displaystyle \left|\frac35\left(-\frac25\right)-\frac25\frac25\right|=\frac25$$ なので、$(s,t)$ 平面の面積に掛ける倍率は $\displaystyle \frac25$。よって $0\le s\le1,\ 0\le t\le1$ に対応する面積は $\boxed{\text{セ}}/\boxed{\text{ソ}}=2/5$ であり、求める部分の面積は $$\displaystyle S=\frac25\left(1+\frac{4\sqrt3}{9}\pi\right)=\frac{8\sqrt3}{45}\pi+\frac25.$$ したがって $\boxed{\text{タ}}=8,\ \boxed{\text{チ}}=3,\ \boxed{\text{ツ}}=4,\ \boxed{\text{テ}}=5,\ \boxed{\text{ト}}=2,\ \boxed{\text{ナ}}=5$。

最後に元の楕円全体についても確認する。$3s^2+4t^2\le4$ の全域での $t$ 方向の幅は $\sqrt{4-3s^2}$、$s$ の範囲は $-2/\sqrt3\le s\le2/\sqrt3$ である。同じ置換 $\displaystyle s=\frac2{\sqrt3}\sin\theta$ により、$(s,t)$ 平面での面積は $$\displaystyle \int_{-2/\sqrt3}^{2/\sqrt3}\sqrt{4-3s^2}\,ds =\frac4{\sqrt3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =\frac{2\pi}{\sqrt3}.$$ これに面積倍率 $2/5$ を掛けると、元の楕円の面積は $\displaystyle \frac{4\sqrt3}{15}\pi$。よって $\boxed{\text{ニ}}=4,\ \boxed{\text{ヌ}}=3,\ \boxed{\text{ネ}}=1,\ \boxed{\text{ノ}}=5$ である。