5新潟大学 2001年 数学 第5問解答・解説

(1) 楕円の式を3倍すると $3x^2+y^2=3,\quad x^2+3y^2=3$. 差をとって $x^2=y^2$. これを代入すると $4x^2=3$ だから $\displaystyle x^2=y^2=\frac34$. よって交点は $\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt3}{2},\pm\frac{\sqrt3}{2}\right)$（複号は独立）.

(2) 2つの楕円は各座標軸について対称なので、第1象限の面積を $A$ とすると $S=4A.$ 第1象限での上側の境界を $\displaystyle y_1=\sqrt{3(1-x^2)},\quad y_2=\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}\quad(0\le x\le1)$ とする。$\displaystyle \;y_1^2-y_2^2=2-\frac83x^2$ なので、$\displaystyle a=\frac{\sqrt3}{2}$ を境に $y_2$ が下側（$0\le x\le a$）、$y_1$ が下側（$a\le x\le1$）となる。したがって$$\displaystyle A=\int_0^a\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}\,dx+\int_a^1\sqrt{3(1-x^2)}\,dx.$$ 第1積分で $\displaystyle x=\sqrt3\sin t,\ 0\le t\le\frac\pi6$ とおくと$$\displaystyle \int_0^a\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}\,dx=\sqrt3\int_0^{\pi/6}\cos^2t\,dt=\frac{\sqrt3\pi}{12}+\frac38.$$ 第2積分で $\displaystyle x=\sin t,\ \frac\pi3\le t\le\frac\pi2$ とおくと$$\displaystyle \int_a^1\sqrt{3(1-x^2)}\,dx=\sqrt3\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos^2t\,dt=\frac{\sqrt3\pi}{12}-\frac38.$$ よって$$\displaystyle S=4A=4\left(\frac{\sqrt3\pi}{6}\right)=\frac{2\sqrt3\pi}{3}=\frac{2\pi}{\sqrt3}.$$