6新潟大学 2001年 数学 第6問解答・解説

(1) $0<t<x<1$ なら $t^{2n}>0,\quad 1-t^2>1-x^2>0$ だから $$\displaystyle 0<\frac{t^{2n}}{1-t^2}<\frac{t^{2n}}{1-x^2}.$$ この不等式を区間で積分し、右辺の積分を計算すると $$\displaystyle 0<\int_0^x\frac{t^{2n}}{1-t^2}\,dt<\frac{1}{1-x^2}\int_0^x t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{(1-x^2)(2n+1)}.$$ (2) $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{x^{2k+1}}{2k+1},\quad R_n=\int_0^x\frac{t^{2n}}{1-t^2}\,dt,\quad I(x)=\int_0^x\frac{dt}{1-t^2}$ とおく。問題文の等式より $I(x)=S_n+R_n$ である。(1)から $$\displaystyle 0<R_n<\frac{x^{2n+1}}{(1-x^2)(2n+1)}\leq\frac{x^{2n+1}}{1-x^2}\longrightarrow0\quad(n\to\infty),$$ ここで $0<x<1$ より $x^{2n+1}\to0$ である。したがって $S_n=I(x)-R_n\to I(x)$ となり、求める級数の和は $I(x)$である。さらに $$\displaystyle \frac{1}{1-t^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)$$ より $$\displaystyle I(x)=\frac12\left[-\log(1-t)+\log(1+t)\right]_0^x=\frac12\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$ よって $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\frac12\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}.$$