京都大学 2000年数学第5問解答・解説

三角関数積分法極限数列

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1問題

京都大学2000年度第5問

数列 {c_n} を次の式で定める。 c_n = (n + 1) ∫_0^1 x^n cos(πx) dx (n = 1, 2, …) このとき

(1) c_n と c_{n+2} の関係を求めよ。

(2) lim_{n→∞} c_n を求めよ。

(3) (2)で求めた極限値を c とするとき，lim_{n→∞} (c_{n+1} - c)/(c_n - c) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

部分積分を2回行って c_n と c_{n+2} の関係を導く。極限値は (n+1)x^n を端点1に集まる重みとして求め、最後は 1+cos(πx) が端点で2次の大きさになる評価とベータ型の多項式積分から誤差比を挟み撃ちする。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad c_{n+2}=-\frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2}(1+c_n)\space{}(n\ge1),\qquad$ (2) $\quad -1,\qquad$ (3) $\quad 1.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned} I_m&=\int_0^1x^m\cos(\pi x)\,dx,\\ I_{n+2}&=-\frac{n+2}{\pi}\int_0^1x^{n+1}\sin(\pi x)\,dx =-\frac{n+2}{\pi^2}\{1+(n+1)I_n\},\\ c_{n+2}&=-\frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2}(1+c_n).\\ \lim\limits _{n\to\infty}c_n&=\lim\limits _{n\to\infty}(n+1)\int_0^1x^n\cos(\pi x)\,dx=\cos\pi=-1.\\ J_n&=\int_0^1x^n(1+\cos(\pi x))\,dx,\qquad c_n+1=(n+1)J_n,\\ 2(1-x)^2&\le 1+\cos(\pi x)\le\frac{\pi^2}{2}(1-x)^2,\\ 0\le1-\frac{J_{n+1}}{J_n} &\le\frac{\pi^2}{4}\frac{\int_0^1x^n(1-x)^3\,dx}{\int_0^1x^n(1-x)^2\,dx} =\frac{3\pi^2}{4(n+4)}\longrightarrow0,\\ \frac{c_{n+1}+1}{c_n+1}&=\frac{n+2}{n+1}\frac{J_{n+1}}{J_n}\longrightarrow1. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

三角関数の周期・グラフ
三角関数の相互関係
三角・指数・対数関数等の積分
不定積分・定積分の性質
部分積分法
数列の極限
漸化式

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