2京都大学 2000年 数学 第2問解答・解説

Classification: PASS. This is a source-based quality supplement for adopted answer A081, not a claim of a fresh blind independent answer. The original conditions and A081's reasoning agree; the adopted answer requires no change.

(1) 共有点 共有点では $x\geq0$ なので、$t=\sqrt{x}\geq0$ とおく。方程式は $$2t^2-at+a-1=0,\qquad D_1=a^2-8a+8.$$ 非負の実数解をもつには $D_1\geq0$ が必要である。$0<a\leq2$ のもとでは、これは $0<a\leq c$（$c=4-2\sqrt2$）と同値である。逆にこの範囲では $$\displaystyle t_+=\frac{a+\sqrt{D_1}}4\geq0$$ なので、判別式の条件は十分でもある。よって共有点をもつ範囲は $0<a\leq4-2\sqrt2$。

(2) 絶対値が大きい方の解の最小値 方程式を整理すると $$4x^2-(2-a)^2x+(a-1)^2=0.$$ したがって $$\displaystyle S=\alpha+\beta=\frac{(2-a)^2}{4},\qquad P=\alpha\beta=\frac{(a-1)^2}{4},\qquad \Delta=a^2(a^2-8a+8).$$ $c=4-2\sqrt2$ とおく。

$0<a\leq c$ のとき、2解は実数である。三角不等式より $$\displaystyle |\beta|\geq\frac{|\alpha+\beta|}{2} =\frac{(2-a)^2}{8}\geq\frac{(2-c)^2}{8} =\frac{3-2\sqrt2}{2}.$$ $a=c$ のとき重解となり、この下限をとる。

$c<a\leq2$ のとき、2解は共役な複素数であるから $$\displaystyle |\beta|=\sqrt{\alpha\beta}=\frac{a-1}{2} >\frac{c-1}{2}=\frac{3-2\sqrt2}{2}.$$ よって指定範囲全体での最小値は $\boxed{(3-2\sqrt2)/2}$。

Disposition The adopted candidates are $0<a\leq4-2\sqrt2$ in (1) and $\displaystyle \min|\beta|=(3-2\sqrt2)/2$ in (2). The nonnegative-root condition in (1) and the real/conjugate-root split in (2) are both explicit in A081. No unresolved mathematical issue was identified. The scanned source page was visually inspected because its PDF text layer is empty. The adopted A081 answer body and display tags are retained.