4京都大学 2000年 数学 第4問解答・解説

解答 $(a+bi)^p$ の虚部を求める。まず $p=2$ なら $$\operatorname{Im}(a+bi)^2=2ab\ne0$$ である。以下 $p$ を奇素数とする。二項展開で $$\displaystyle \operatorname{Im}(a+bi)^p=bS,\qquad S=\sum\limits _{j=0}^{(p-1)/2}(-1)^j\binom p{2j+1}a^{p-2j-1}b^{2j}.$$ ここで $1\le k<p$ なら $$\displaystyle k\binom pk=p\binom{p-1}{k-1}.$$ $p$ は素数で $p\nmid k$ だから、素数の割り切りの性質より $\displaystyle p\mid\binom pk$ である。

$p\nmid b$ の場合、$S$ の最後の項以外は $p$ の倍数である。最後の項は $$(-1)^{(p-1)/2}b^{p-1}$$ で、$p\nmid b$ より $p$ では割り切れない。従って $S\not\equiv0\pmod p$、よって $S\ne0$。

$p\mid b$ の場合は $(a,b)=1$ より $p\nmid a$。$S$ の最初の項は $pa^{p-1}$ である。$1\le j<(p-1)/2$ なら $1<2j+1<p$ なので二項係数 $\displaystyle \binom p{2j+1}$ は $p$ の倍数であり、また $p\mid b$ から $b^{2j}$ は $p^2$ の倍数である。最後の項 $b^{p-1}$ も $p\ge3$ と $p\mid b$ から $p^2$ の倍数である。従って $$S\equiv pa^{p-1}\pmod {p^2}.$$ $p\nmid a$ なので $pa^{p-1}$ は $p^2$ の倍数ではなく、$S\ne0$ である。

どちらの場合も $S\ne0$、かつ $b>0$ だから $\operatorname{Im}(a+bi)^p=bS\ne0$。ゆえに $(a+bi)^p$ は実数ではない。