3神戸大学 2001年 数学 第3問解答・解説

(1) 方程式の有理数解を $r$ とする。まず $r>0$ の場合を考える。問題の条件により、互いに $1$ 以外の公約数をもたない自然数 $m,n$ を用いて $\displaystyle r=\dfrac{n}{m}$ と表せる。これを方程式に代入して $m^3$ を掛けると、 $$n^3+a n^2m+b n m^2+c m^3=0$$ となる。したがって $$n^3=-m(an^2+bnm+cm^2)$$ より $m\mid n^3$ である。もし $m>1$ なら、$m$ の素因数 $p$ をとれる。このとき $p\mid n^3$ だから、素数が積を割るときの性質より $p\mid n$ となる。これは $m,n$ が $1$ 以外の公約数をもたないことに反する。ゆえに $m=1$ であり、$r=n$ は整数である。

$r<0$ の場合は $s=-r>0$ とおく。元の方程式から $$s^3-a s^2+b s-c=0$$ を得る。これは係数が整数の三次方程式であり、上と同じ議論により $s$ は整数だから、$r=-s$ も整数である。また $r=0$ も整数である。以上より、もとの方程式が有理数解をもつならば、その解は整数である。

(2) 背理法で示す。方程式 $x^3+2x^2+2=0$ が有理数解 $r$ をもつと仮定する。(1)より $r$ は整数である。$r=k$ とおくと $$k^3+2k^2+2=0$$ である。$2k^2+2$ は偶数なので $k^3$ は偶数、したがって $k$ は偶数である。そこで整数 $t$ を用いて $k=2t$ とおくと、 $$8t^3+8t^2+2=0, \qquad 4t^3+4t^2+1=0$$ となる。しかし $4t^3+4t^2$ は偶数であるから、左辺は奇数であり、$0$ にはならない。これは矛盾である。したがって、この方程式は有理数の解をもたない。

有理根を既約分数$\displaystyle \frac nm$と書いて方程式に代入し、mが$n^3$を割ることを示す。$m,n$は互いに素なので$m=1$。負の根も符号を反転して同じ議論に帰着する。後半は整数根を仮定し、まず偶数と示す。$k=2t$を代入・約分すると$\text{偶数}+1=0$になり矛盾する。