神戸大学 2001年数学第2問解答・解説

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1問題

神戸大学2001年度第2問

3点 $O, A, B$ は、一直線上にない点とし、 $\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$ とする。また、 $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおく。このとき次の問に答えよ。

Oから右のAへ向かう水平の矢印と、Oから右上のBへ向かう斜めの矢印が描かれ、O,A,Bのラベルがある。

(1) 点 $P$ を $\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}$ （ $t$ は実数）をみたす点とする。このとき、 $\overrightarrow{OP}$ を、 $\vec{a},\ \vec{b},\ t$ であらわせ。　 (2) 点 $Q$ を $\overrightarrow{OQ}=2s\overrightarrow{OA}$ （ $s$ は実数）をみたす点とする。 $P$ と $Q$ の中点を $M$ とする。 $t, s$ が $0\leq t\leq 1,\ 0\leq s\leq 1$ をみたしながら変化するとき、点 $M$ の存在する範囲を図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$OP=2t a+(1+2t)b.$
(2)
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=(t+s)\vec a+(t+\frac12)\vec b$ 。a,b基底の係数平面で頂点 $\displaystyle (0,\frac12),\ (1,\frac12),\ (2,\frac32),\ (1,\frac32)$ の閉じた平行四辺形。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

右向きのλ軸と上向きのμ軸が原点Oで交わる係数平面に、4頂点(0, 1/2)、(1, 1/2)、(2, 3/2)、(1, 3/2)を黒点で示し、これらを順に結ぶ平行四辺形を実線で描いて内部を薄青で塗り、「点Mの範囲（境界を含む）」と記す。図の下に「OM→=λa→+μb→、λ=t+s、μ=t+1/2」と添える。

この問題で使う考え方

位置ベクトルの一次結合
パラメータ表示
内分点の係数領域

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