III慶應義塾大学 2005年 数学 第III問解答・解説

(1) $PR$ の垂直二等分線を作図し、$PR$ との交点を $M$ とする。$PR$ を一辺とする正三角形 $PRX$ を作図し、$X$ から $PR$ へ下ろした垂線の足は $M$ である。線分 $MX$ を平行線を用いて3等分し、$MN=MX/3$ となる点 $N$ を $M$ と $X$ の間にとる。$M$ を通る $PR$ の垂線上で、$M$ から $X$ の側へ距離 $MN$ の点を $Q$、反対側へ同じ距離の点を $S$ とし、$P,Q,R,S$ を順に結ぶ。

正三角形の高さより $MX=\sqrt3\,PR/2$ なので $MQ=MS=MX/3=PR/(2\sqrt3)$ である。また $MP=MR=PR/2=\sqrt3\,MQ$。よって直角三角形 $PMQ$ で $PQ=\sqrt{MP^2+MQ^2}=2MQ$ であり、同様に $PS=RQ=RS=2MQ$。さらに $QS=2MQ$ だから、$PQS$ と $RQS$ は正三角形である。$PR=2\sqrt3\,MQ>QS$ なので、$PR$ は長対角線となる。

(2) $A,B,C$ の順に反時計回りである。実際、$y>0$ より $$\det(B-A,C-A)=2y>0.$$ したがって、向きを $B\to C$, $C\to A$, $A\to B$ とした各辺に対して、残る頂点は左側にあり、$D,E,F$ はその反対側にある。$J(u,v)=(-v,u)$ とおくと、長対角線を $XY$ とする正ひし形の頂点はその中点から垂線方向に $|XY|/(2\sqrt3)$ だけ離れるから $$\displaystyle D=\frac{B+C}{2}-\frac{J(C-B)}{2\sqrt3},\quad E=\frac{C+A}{2}-\frac{J(A-C)}{2\sqrt3},\quad F=\frac{A+B}{2}-\frac{J(B-A)}{2\sqrt3}.$$ これより $$\displaystyle D=\left(\frac{x+1}{2}+\frac{y}{2\sqrt3},\frac y2-\frac{x-1}{2\sqrt3}\right),\quad E=\left(\frac{x-1}{2}-\frac{y}{2\sqrt3},\frac y2+\frac{x+1}{2\sqrt3}\right),\quad F=\left(0,-\frac1{\sqrt3}\right).$$ 従って $$\displaystyle DE^2=\left(1+\frac y{\sqrt3}\right)^2+\frac{x^2}{3}=1+\frac{x^2+y^2}{3}+\frac{2y}{\sqrt3}.$$ また $$\displaystyle 4EF^2=\left(x-1-\frac y{\sqrt3}\right)^2+\left(y+\frac{x+3}{\sqrt3}\right)^2 =\frac43(x^2+y^2+3)+\frac{8y}{\sqrt3},$$ $$\displaystyle 4FD^2=\left(x+1+\frac y{\sqrt3}\right)^2+\left(y-\frac{x-3}{\sqrt3}\right)^2 =\frac43(x^2+y^2+3)+\frac{8y}{\sqrt3}.$$ よって $DE^2=EF^2=FD^2=1+(x^2+y^2)/3+2y/\sqrt3$。これは正であるから、三角形 $DEF$ は正三角形である。

(3) 上の位置ベクトル表示を足すと、$J$ を含む項は $$(C-B)+(A-C)+(B-A)=0$$ により打ち消し合う。一方、中点の項の和は $A+B+C$ である。従って $D+E+F=A+B+C=(x,y)$ となり、両三角形の重心はいずれも $(x/3,y/3)$ である。