IV慶應義塾大学 2005年 数学 第IV問解答・解説

(1) $0\le x\le1$ では $0\le x^2/2\le1/2$ であり、指数関数は増加するから $$f(x)-f_0(x)=e^{x^2/2}-1\le e^{1/2}-1=\sqrt e-1.$$ また $f(x)\ge1=f_0(x)$ なので、差は非負である。

(2) 与えられた積分表示と $f_n$ の定義を引くと $$\displaystyle f(x)-f_n(x)=\int_0^x t\{f(t)-f_{n-1}(t)\}\,dt.$$ まず $n=1$ では、(1)より被積分関数は非負であり $$\displaystyle 0\le f(x)-f_1(x)\le(\sqrt e-1)\int_0^x t\,dt=\frac{\sqrt e-1}{2}x^2.$$ $n-1$ で主張が成り立つとする。$0\le t\le x\le1$ に対してその不等式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} 0\le f(x)-f_n(x) &\le\frac{\sqrt e-1}{2^{n-1}(n-1)!}\int_0^x t\,t^{2n-2}\,dt\\ &=\frac{\sqrt e-1}{2^{n-1}(n-1)!}\cdot\frac{x^{2n}}{2n} =\frac{\sqrt e-1}{2^n n!}x^{2n}. \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、すべての $n\ge1$ について成立する。

(3) 漸化式から帰納的に $$\displaystyle f_n(x)=\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{x^{2k}}{2^k k!}$$ を得る。実際、$f_{n-1}$ の各項を $t$ 倍して積分すれば、定数項 $1$ のほかに $x^{2k}/(2^k k!)$ が順に得られる。従って $$\displaystyle f_5(1)=1+\frac12+\frac18+\frac1{48}+\frac1{384}+\frac1{3840}=\frac{6331}{3840}=1.6486979\ldots.$$ 誤差評価に $n=5,x=1$ を入れると $$\displaystyle 0\le\sqrt e-f_5(1)\le\frac{\sqrt e-1}{3840}.$$ ここで $f$ は $0\leq x\leq1$ の範囲で増加するので、与えられた積分表示から $$\displaystyle \sqrt e-1=f(1)-1=\int_0^1t f(t)\,dt\le f(1)\int_0^1t\,dt=\frac{\sqrt e}{2},$$ 従って $\sqrt e\le2$、すなわち $\sqrt e-1\le1$ である。したがって $$\displaystyle \frac{6331}{3840}\le\sqrt e\le\frac{6332}{3840}=1.6489583\ldots.$$ 上の評価から $1.6485\leq\sqrt e<1.6495$ であり、$f_5(1)=1.6486979\ldots$ もこの範囲にある。従って両者は小数第3位まで $1.649$ で一致する。