3大分大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) まず $m=0$ なら、$x>0$ に対して指数関数は増加するから $e^x>e^0=1=x^0/0!$ である。 $m$ で不等式が成り立つとする。このとき $t>0$ では $e^t>t^m/m!$ であるから、任意の $x>0$ に対し $$\displaystyle e^x=1+\int_0^x e^t\,dt>1+\int_0^x\frac{t^m}{m!}\,dt=1+\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}>\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}.$$ よって数学的帰納法により、すべての自然数 $m$ について $e^x>x^m/m!$ が成り立つ。

(2) (1)で $m=n+1$ とすると、$x>0$ に対して $$\displaystyle 0<\frac{x^n}{e^x}<\frac{(n+1)!}{x}.$$ 右端は $x\to\infty$ で $0$ に収束するので、挟み撃ちの原理から $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}=0.$$

(3) まず $n=1$ のとき $$\displaystyle \Gamma_K(1)=\int_0^K e^{-x}\,dx=1-e^{-K}\longrightarrow 1=0!.$$ 次に $n\ge2$ とする。部分積分により $$\displaystyle \Gamma_K(n)=\int_0^K x^{n-1}e^{-x}\,dx=-K^{n-1}e^{-K}+(n-1)\int_0^K x^{n-2}e^{-x}\,dx=-K^{n-1}e^{-K}+(n-1)\Gamma_K(n-1).$$ (2)を $n-1$ に適用すると $K^{n-1}e^{-K}\to0$ である。したがって、$n-1$ について極限が $(n-2)!$ であるとすれば、上の等式から $$\displaystyle \lim\limits _{K\to\infty}\Gamma_K(n)=(n-1)(n-2)!=(n-1)!.$$ $n=1$ の場合を基に帰納法を用いれば、すべての自然数 $n$ について $\displaystyle \lim\limits _{K\to\infty}\Gamma_K(n)=(n-1)!$ となる。