2大分大学 2014年 数学 第2問解答・解説

以下、$n$ は正の整数とする。

(1) $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}k$ とおく。$n=1$ では $\displaystyle S_1=1=\frac{1\cdot2}{2}$ である。$\displaystyle S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ と仮定すると、 $$\displaystyle S_{n+1}=S_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+n+1 =\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$ よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$ が成り立つ。

(2) $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ を $k=1$ から $n$ まで加えると、左辺は隣り合う項が消えて $$\displaystyle (n+1)^3-1=3\sum\limits _{k=1}^{n}k^2+3\sum\limits _{k=1}^{n}k+n$$ となる。(1)を用いて整理すると、 $$\displaystyle 3\sum\limits _{k=1}^{n}k^2 =(n+1)^3-1-\frac{3n(n+1)}{2}-n =\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.$$ したがって、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

(3) $\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^{n}k^3$ とおく。$n=1$ では $\displaystyle T_1=1=\frac{1^2\cdot2^2}{4}$ である。$\displaystyle T_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ と仮定すると、 $$\displaystyle T_{n+1}=T_n+(n+1)^3 =\frac{(n+1)^2}{4}\bigl(n^2+4(n+1)\bigr) =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}.$$ よって数学的帰納法により、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ が成り立つ。

(4) $(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$ を $k=1$ から $n$ まで加えると、 $$\displaystyle (n+1)^5-1 =5\sum\limits _{k=1}^{n}k^4+10\sum\limits _{k=1}^{n}k^3 +10\sum\limits _{k=1}^{n}k^2+5\sum\limits _{k=1}^{n}k+n.$$ (1)--(3)を代入して、 $$\displaystyle \begin{aligned} 5\sum\limits _{k=1}^{n}k^4 &=(n+1)^5-1-\frac{5}{2}n^2(n+1)^2 -\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)-\frac{5}{2}n(n+1)-n\\ &=\frac{1}{6}\bigl(6n^5+15n^4+10n^3-n\bigr)\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{6}. \end{aligned}$$ したがって、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k^4 =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}.$$