1大阪大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) 漸化式を繰り返し用いると $$A_1=B,\qquad A_2=B+BC,\qquad A_3=B+BC+BC^2$$ となる。一般に $$A_n=B+BC+BC^2+\cdots+BC^{n-1} =B\left(E+C+C^2+\cdots+C^{n-1}\right)$$ である。実際、右辺は $n=1$ で $A_1=B$ に一致し、これを $S_n$ とすると $$B+A_nC =B+B(E+C+\cdots+C^{n-1})C =B(E+C+\cdots+C^n)$$ となるので、漸化式から帰納的に成り立つ。従って、右から $E-C$ を掛けると $$\begin{aligned} A_n(E-C) &=B\{(E-C)+(C-C^2)+\cdots+(C^{n-1}-C^n)\}\\ &=B(E-C^n). \end{aligned}$$ ゆえに求める式は $B(E-C^n)$ である。

(2) 与えられた $C$ について、成分ごとの積を計算すると $$C^2= \begin{pmatrix} 1&3\\-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\-1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&6\\-2&-2 \end{pmatrix}, \qquad C^3=C^2C= \begin{pmatrix} -8&0\\0&-8 \end{pmatrix} =-8E.$$ (1)で得た有限和表示を $3n$ に適用すると $$\displaystyle \begin{aligned} A_{3n} &=B\sum\limits _{k=0}^{3n-1}C^k\\ &=B\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(C^{3j}+C^{3j+1}+C^{3j+2}\right)\\ &=B\left(\sum\limits _{j=0}^{n-1}(-8)^j\right)(E+C+C^2). \end{aligned}$$ ここでは $C^3=-8E$ を繰り返し掛けたため、各括弧の項は $C^{3j}+C^{3j+1}+C^{3j+2}=(-8)^j(E+C+C^2)$ となる。また $$E+C+C^2= \begin{pmatrix} 0&9\\-3&0 \end{pmatrix},\qquad B(E+C+C^2)= \begin{pmatrix} -3&0\\0&9 \end{pmatrix},$$ および $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n-1}(-8)^j=\frac{1-(-8)^n}{9}$$ より $$\displaystyle A_{3n} =\frac{1-(-8)^n}{9} \begin{pmatrix} -3&0\\0&9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{(-8)^n-1}{3}&0\\[3pt] 0&1-(-8)^n \end{pmatrix}.$$ この式は $n=0$ でも $A_0=O$ と一致する。