2大阪大学 2008年 数学 第2問解答・解説

OX,OYの単位方向ベクトルをそれぞれ$\mathbf e,\mathbf f$とする。$OA=a,\ OC=c$とおくと、$\overrightarrow{OB}=(a+s)\mathbf e$、$\overrightarrow{OD}=(c+t)\mathbf f$であり、中点の位置ベクトルから$$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\bigr)=\frac{1}{2}(s\mathbf e+t\mathbf f).$$ここで$|\mathbf e|=|\mathbf f|=1$、$\angle(\mathbf e,\mathbf f)=60^\circ$だから、余弦定理より$$\displaystyle MN^2=\frac{1}{4}\{s^2+t^2+2st\cos60^\circ\}=\frac{s^2+st+t^2}{4}.$$したがって$$\displaystyle (1)\quad MN=\frac{1}{2}\sqrt{s^2+st+t^2}.$$

(2)では$s,t>0$、$s^2+t^2=1$である。$$(s-t)^2\geq0$$より$1-2st\geq0$、したがって$\displaystyle st\leq\frac{1}{2}$。よって$$\displaystyle MN=\frac{1}{2}\sqrt{1+st}\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.$$等号は$\displaystyle s=t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき成立し、この正の長さは条件を満たす点$A,B,C,D$を取れる。したがって最大値は$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt{6}}{4}}$である。