2山口大学 2015年 数学 第2問解答・解説

採用する検算済み解説

$AB=l$, $AP=m$, $\angle PAB=\alpha$, $\angle PAC=\beta$ とし、$x=AC$ とおく。三角形の内角条件より $l,m,x>0$、$\alpha,\beta>0$、$\alpha+\beta<\pi$。

(1) $AC$ $AP$を正の$x$軸にとると、$B=(l\cos\alpha,-l\sin\alpha)$、$C=(x\cos\beta,x\sin\beta)$。線分$BC$と$x$軸の交点が$P=(m,0)$なので、内分点の座標から $$\displaystyle m=\frac{lx\sin(\alpha+\beta)}{l\sin\alpha+x\sin\beta}.$$ これを$x$について解き、 $$\displaystyle \boxed{AC=\frac{lm\sin\alpha}{l\sin(\alpha+\beta)-m\sin\beta}}.$$ 分母$D=l\sin(\alpha+\beta)-m\sin\beta$は、上式と$x>0$から正。

(2) 面積不等式 $\displaystyle S=[ABP]+[APC]=\frac12lm\sin\alpha+\frac12m x\sin\beta$。$X=l\sin(\alpha+\beta)$、$Y=m\sin\beta$とおけば$D=X-Y>0$であり、(1)から $$\displaystyle S=\frac{l^2m\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}{2D}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S-\frac{2m^2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} &=\frac{m\sin\alpha}{2D\sin(\alpha+\beta)}\{X^2-4Y(X-Y)\}\\ &=\frac{m\sin\alpha}{2D\sin(\alpha+\beta)}(X-2Y)^2\ge0. \end{aligned}$$ 分母は正である。等号条件は$X=2Y$、すなわち$l\sin(\alpha+\beta)=2m\sin\beta$。

(3) 重心比 等号時は$D=X-Y=Y=m\sin\beta$なので、(1)より$AC=l\sin\alpha/\sin\beta$。よって $$\displaystyle [ABP]=\tfrac12lm\sin\alpha=\tfrac12m(AC)\sin\beta=[APC].$$ $P$は$BC$上にあり、2つの三角形の高さ（$A$から$BC$への距離）は共通だから$BP=PC$。ゆえに$P$は$BC$の中点、$AP$は中線である。重心$G$は中線を頂点側から$2:1$に内分するため、$$\boxed{AG/PG=2}.$$

論証・高校範囲： 座標による内分点、三角形の面積、平方の非負性、重心の中線比を使った。単元： 数学I「図形と計量」、数学A「図形の性質」。方法： 座標化、面積分割、平方完成、等号から中点を導く。公式： 三角形の面積公式、三角比の加法定理、重心の中線比。テーマ： 三角形の面積不等式と等号時の重心比。