4山口大学 2015年 数学 第4問解答・解説

次の問いに答えなさい。 　 (1) $a,b,c$ を整数とする。$a+b+c$ が偶数ならば $a,b,c$ の少なくとも1つは偶数であることを示しなさい。 　 (2) 整数 $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{27}$ を適当に並べ替えたものを $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots,b_{27}$ とする。 　 (i) 積 $(a_{1}+b_{1})\cdot(a_{2}+b_{2})\cdot(a_{3}+b_{3})\cdots(a_{27}+b_{27})$ は偶数であることを示しなさい。 　 (ii) $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{27}a_{k}=S$ とする。整数 $p,q$ が $p+q+1=S$ を満たすとき、積 $(pa_{1}+qb_{1})\cdot(pa_{2}+qb_{2})\cdot(pa_{3}+qb_{3})\cdots(pa_{27}+qb_{27})$ は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい。