2九州大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) 任意の自然数 $a$ は，ある0以上の整数 $k$ を用いて $$a=3k,\quad a=3k+1,\quad a=3k+2$$ のいずれかの形にただ一通りに表される。それぞれの場合について $a^2$ を計算する。 $$\begin{aligned} a=3k &\ \quad\text{ならば}\quad\ a^2=9k^2=3\cdot(3k^2)\\ a=3k+1 &\ \quad\text{ならば}\quad\ a^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1\\ a=3k+2 &\ \quad\text{ならば}\quad\ a^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1 \end{aligned}$$ いずれの場合も，$a^2$ を3で割った余りは $0$ または $1$ になっている（$a$ が3の倍数のとき余り0，3の倍数でないとき余り1）。したがって，任意の自然数 $a$ について $a^2$ を3で割った余りは0か1である。$\blacksquare$

(2) 自然数 $a,b,c$ が $$a^2+b^2=3c^2$$ を満たすとする。右辺は3の倍数だから，$a^2+b^2$ も3の倍数である。(1)より $a^2,\,b^2$ を3で割った余りはそれぞれ $0$ か $1$ なので，$a^2+b^2$ を3で割った余りとして起こり得るのは $$0+0=0,\qquad 0+1=1,\qquad 1+0=1,\qquad 1+1=2$$ のいずれかである（これらはすべて3未満なので，この値がそのまま3で割った余りになる）。この中で3の倍数（余り0）になるのは，$a^2,\,b^2$ の余りが共に $0$ の場合だけである。よって $$3\mid a^2,\qquad 3\mid b^2$$ が成り立つ。ところが(1)の場合分けから，$a^2$ を3で割った余りが $0$ になるのは $a$ が3の倍数のとき（$a=3k$ の場合）に限られる（$a=3k+1,3k+2$ のときは余りが1）。したがって $$3\mid a,\qquad 3\mid b$$ である。そこで，自然数 $a',b'$ を用いて $a=3a',\ b=3b'$ とおき，これを $a^2+b^2=3c^2$ に代入すると $$9a'^2+9b'^2=3c^2 \ \quad\text{ならば}\quad\ 3(a'^2+b'^2)=c^2 \ \quad\text{ならば}\quad\ c^2=3(a'^2+b'^2).$$ これより $3\mid c^2$ である。$c$ も自然数なので，(1)の場合分けを $c$ に対して適用すれば，$3\mid c^2$ となるのは $c$ が3の倍数のときに限るから $$3\mid c$$ を得る。以上より，$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ は，すべて3で割り切れる。$\blacksquare$

(3) 背理法で示す。$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数の組 $(a,b,c)$ が少なくとも一つ存在すると仮定する。そのような組全体において $c$ のとり得る値の集合は，自然数から成る空でない集合であるから，最小値をもつ。その最小の $c$ を与える組を改めて $(a,b,c)$ とする（すなわち，$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数の組の中で，$c$ が最小であるものをとる）。

(2)より，この $a,b,c$ はすべて3の倍数である。そこで自然数 $a_1,b_1,c_1$ を用いて $$a=3a_1,\qquad b=3b_1,\qquad c=3c_1$$ とおき，これを $a^2+b^2=3c^2$ に代入すると $$9a_1^2+9b_1^2=3(3c_1)^2=27c_1^2$$ より，両辺を9で割って $$a_1^2+b_1^2=3c_1^2$$ を得る。したがって $(a_1,b_1,c_1)$ もまた自然数の組であって，同じ方程式 $a_1^2+b_1^2=3c_1^2$ を満たしている。

ここで，$c$ は3の倍数である自然数だから $c\geq 3$ であり，$\displaystyle c_1=\dfrac{c}{3}$ は自然数で，かつ $$\displaystyle c_1=\frac{c}{3}<c$$ が成り立つ。これは，$(a,b,c)$ が「$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数の組のうち $c$ が最小であるもの」として選ばれていたことに矛盾する。

よって，$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない。$\blacksquare$