島根大学 2011年数学第1問解答・解説

数学と人間の活動（整数）数と式

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1問題

島根大学2011年度第1問

$m$ を自然数とする。 $(2^m)!$ が $2^n$ で割り切れる自然数 $n$ の最大値を $N(m)$ とおくとき，次の問いに答えよ。

(1) $N(5)$ を求めよ。

(2) $N(m)$ を $m$ の式で表せ。

(3) $N(m)$ が素数ならば， $m$ も素数であることを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) $32!$ に含まれる因数2の個数は，偶数から各1個，4の倍数から追加で各1個，というように数えて $16+8+4+2+1=31$ 。よって $N(5)=31$ 。 (2) 同じ数え方で $N(m)=2^{m-1}+2^{m-2}+\cdots+1=2^m-1.$ これは含まれる因数2を重複や漏れなく数えているので最大の指数である。 (3) $m=1$ なら $N(m)=1$ は素数でない。 $m\ge2$ が合成数なら $m=ab$ （ $a,b\ge2$ ）と書けて $2^m-1=(2^a-1)(1+2^a+\cdots+2^{a(b-1)}).$ 両因数が1より大きいので $N(m)$ は合成数。対偶から， $N(m)$ が素数なら $m$ も素数である。

この問題で使う考え方

約数・倍数
対偶・背理法による証明

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