2島根大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) 立方体の辺の長さを $l_1$ とすると、空間対角線は球の直径に等しいので $$\displaystyle \sqrt3,l_1=2,\qquad l_1=\frac2{\sqrt3}.$$ (2) 同様に $\sqrt3,l_n=2r_n$。次の内接球の直径は立方体の辺に等しいので $$\displaystyle 2r_{n+1}=l_n,\qquad r_{n+1}=\frac{r_n}{\sqrt3}.$$ $r_1=1$ より $$\displaystyle r_n=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{n-1}=3^{-\frac{n-1}{2}}.$$ (3) 球の体積は $$\displaystyle V_n=\frac{4\pi}{3}\left(\frac1{3\sqrt3}\right)^{n-1}.$$ $q=1/(3\sqrt3)$ とおくと $0<q<1$ だから、 $$\displaystyle S_k=\frac{4\pi}{3}\frac{1-q^k}{1-q}$$ であり、$q^k\to0$ より $$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}S_k=\frac{4\pi\sqrt3}{3\sqrt3-1}=\frac{(18+2\sqrt3)\pi}{13}.$$

立方体の空間対角線と球の直径、さらに立方体の辺と次の球の直径を結び、半径の公比を求める。体積の公比はその3乗になる。公比が1未満の等比数列の和として極限を計算できる。