6愛媛大学 2007年 数学 第6問解答・解説

四角形 $A_1B_1C_1D_1$ を1辺の長さが $a$ の正方形とする。自然数 $n$ に対して、四角形 $A_nB_nC_nD_n$ から4点 $A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1},D_{n+1}$ を次のように定める。辺 $A_nB_n$、$B_nC_n$、$C_nD_n$、$D_nA_n$ の中点をそれぞれ $K_n,L_n,M_n,N_n$ とし、線分 $A_nM_n$ と線分 $B_nN_n$ の交点を $A_{n+1}$、線分 $B_nN_n$ と線分 $C_nK_n$ の交点を $B_{n+1}$、線分 $C_nK_n$ と線分 $D_nL_n$ の交点を $C_{n+1}$、線分 $D_nL_n$ と線分 $A_nM_n$ の交点を $D_{n+1}$ とする。

(1) すべての $n$ について四角形 $A_nB_nC_nD_n$ は正方形であることを数学的帰納法によって示せ。

(2) 4つの三角形 $\triangle A_nA_{n+1}N_n$、$\triangle B_nB_{n+1}K_n$、$\triangle C_nC_{n+1}L_n$、$\triangle D_nD_{n+1}M_n$ の面積の和 $S_n$ を求めよ。

(3) (2)で求めた $S_n$ について、無限級数 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n$$の和を求めよ。