III慶應義塾大学 2023年 数学 第III問解答・解説

$a_n=t\ (t\ne0)$ における接線は、$y'= -2x^{-3}$ より $$\displaystyle \ell_n:\quad y=\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t^3}(x-t)=\frac{3}{t^2}-\frac{2x}{t^3}$$ である。これと $y=1/x^2$ との交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac1{x^2}=\frac3{t^2}-\frac{2x}{t^3} \quad\text{すなわち}\quad (x-t)^2(2x+t)=0$$ を満たす。$x=t$ 以外の交点は $x=-t/2$ だから、 $$\displaystyle a_{n+1}=-\frac12a_n.$$

(1) よって $\displaystyle \frac{a_2}{a_1}=-\frac12$, $\displaystyle \frac{a_3}{a_1}=\frac14$ である。

(2) 漸化式から $$\displaystyle a_n=a_1\left(-\frac12\right)^{n-1}.$$ 公比 $\displaystyle -\frac12$ の無限等比級数は収束するので、 $$\displaystyle T=\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\frac{a_1}{1-(-1/2)}=\frac23a_1.$$ したがって $\displaystyle (\text{う})=a_1(-\frac12)^{n-1}$, $\displaystyle (\text{え})=\frac23a_1$ である。

(3) $a=a_1>0$ とおくと $$\displaystyle A_1=\left(a,\frac1{a^2}\right),\quad A_2=\left(-\frac a2,\frac4{a^2}\right),\quad A_3=\left(\frac a4,\frac{16}{a^2}\right).$$ 重心の座標は $$\displaystyle \left(\frac{a-a/2+a/4}{3},\frac{1/a^2+4/a^2+16/a^2}{3}\right) =\left(\frac a4,\frac7{a^2}\right).$$ ここで $x=a/4>0$ より $a=4x$ だから、軌跡は $$\displaystyle y=\frac{7}{16x^2}\quad(x>0)$$ である。

(4) 辺の長さの2乗は $$\displaystyle A_1A_2^2=\frac{9a^2}{4}+\frac9{a^4},\quad A_2A_3^2=\frac{9a^2}{16}+\frac{144}{a^4},\quad A_3A_1^2=\frac{9a^2}{16}+\frac{225}{a^4}.$$ 余弦定理より、各角が鋭角であることは、その角をはさむ2辺の長さの2乗の和が対辺の長さの2乗より大きいことと同値である。$A_1$ の角については $$\displaystyle A_1A_2^2+A_1A_3^2-A_2A_3^2=\frac{9a^2}{4}+\frac{90}{a^4}>0$$ で常に鋭角である。$A_2$ の角については $$\displaystyle A_1A_2^2+A_2A_3^2-A_3A_1^2=\frac{9a^2}{4}-\frac{72}{a^4}>0 \quad\text{すなわち}\quad a^6>32.$$ $A_3$ の角については $$\displaystyle A_3A_1^2+A_2A_3^2-A_1A_2^2=\frac{360}{a^4}-\frac{9a^2}{8}>0 \quad\text{すなわち}\quad a^6<320.$$ 以上より $$\sqrt[6]{32}<a_1<\sqrt[6]{320},$$ すなわち $(\text{か})=\sqrt[3]{4\sqrt2}$, $(\text{き})=\sqrt[3]{8\sqrt5}$ である。

(5) 以下 $a=a_1>0$ とする。台形の平行な辺の長さは $1/a^2$, $4/a^2$、その間の距離は $3a/2$ なので $$\displaystyle S_1=\frac12\left(\frac1{a^2}+\frac4{a^2}\right)\frac{3a}{2}=\frac{15}{4a}.$$ 線分 $A_1A_2$ と $A_2A_3$ を含む直線はそれぞれ $$\displaystyle \ell_1(x)=\frac3{a^2}-\frac{2x}{a^3},\qquad \ell_2(x)=\frac{12}{a^2}+\frac{16x}{a^3}$$ である。横座標の範囲を分けると、$-a/2\le x\le a/4$ では上側が $\ell_2$、下側が $\ell_1$ であり、$a/4\le x\le a$ では上側が曲線 $1/x^2$、下側が $\ell_1$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S_2&=\int_{-a/2}^{a/4}(\ell_2(x)-\ell_1(x))\,dx +\int_{a/4}^{a}\left(\frac1{x^2}-\ell_1(x)\right)dx\\ &=\left[\frac{9x}{a^2}+\frac{9x^2}{a^3}\right]_{-a/2}^{a/4} +\left[-\frac1x-\frac{3x}{a^2}+\frac{x^2}{a^3}\right]_{a/4}^{a}\\ &=\frac{81}{16a}+\frac{27}{16a}=\frac{27}{4a}. \end{aligned}$$ よって $S_1:S_2=15:27=5:9$ であり、$(\text{く})=5$, $(\text{け})=9$ である。