2獨協医科大学 2022年 2日目 数学 第2問解答・解説

(1) 逆関数と交点 $P$

$y=(3x-1)/(x-a)$ を $x$ について解くと、$y\ne3$ のもとで $$\displaystyle x=\frac{ay-1}{y-3}$$ となるので、$f^{-1}(x)=(ax-1)/(x-3)$ である。逆関数が存在するので $a\ne1/3$ であり、両辺の分母が恒等的に零でない。$f^{-1}(x)=f(x)$ より $$(ax-1)(x-a)=(3x-1)(x-3)$$ が恒等式となる。両辺の $x^2$ の係数を比べて $a=3$ を得る。このとき $$\displaystyle f(x)=\frac{3x-1}{x-3}=3+\frac8{x-3},\qquad f(f(x))=x$$ であり、確かに $f^{-1}=f$ である。固定点は $$\displaystyle x=3+\frac8{x-3}\quad\text{すなわち}\quad (x-3)^2=8.$$ 条件 $x>3$ から $p=3+2\sqrt2$。したがって $\text{ア}=3,\ \text{イ}=3,\ \text{ウ}=2,\ \text{エ}=2$。

(2) 正三角形の条件

以後 $x>3$ では $f(x)=3+8/(x-3)>3$ である。また $x$ が増すと $f(x)$ は減る。よって $A=(t,f(t))$ と $B=(x_B,y_B)$ について $t<x_B$ なら $f(t)>y_B$ である。$O,A,B$ は正三角形で、$A,B$ は第1象限にあり、$B$ の $x$ 座標が大きく $y$ 座標が小さいから、$\overrightarrow{OB}$ は $\overrightarrow{OA}$ を時計回りに $60^\circ$ 回転したものとなる。$r=\sqrt3,\ u=t-3>0$ とおけば $$\displaystyle f(t)=3+\frac8u,\qquad x_B=\frac{t+r f(t)}2,\qquad y_B=\frac{f(t)-rt}2.$$ $B$ も曲線 $C$ 上にあることから $(x_B-3)(y_B-3)=8$。これに $t=u+3$ と $f(t)=3+8/u$ を代入して整理すると $$r u^4+12u^3+66u^2+96u-64r=0.$$ 左辺は $$(u-r+1)\{r u^3+(15-r)u^2+(48+16r)u+96+32r\}$$ と因数分解できる。$u>0$ では中括弧内は正であるため、唯一の正の解は $u=r-1$。従って $t=2+\sqrt3$ で、$\text{オ}=2,\ \text{カ}=3$。

実際、 $$\displaystyle f(t)=3+\frac8{\sqrt3-1}=7+4\sqrt3,$$ なので $f(t)-t=5+3\sqrt3$、すなわち $\text{キ}=5,\ \text{ク}=3,\ \text{ケ}=3$。回転後の $B$ は $(7+4\sqrt3,2+\sqrt3)$ であり、$f(7+4\sqrt3)=2+\sqrt3$ も成り立つから $B$ は曲線 $C$ 上にある。これにより得た配置は実際に正三角形を与える。

(3) 面積

$t=2+\sqrt3$ と $s=7+4\sqrt3=t^2$ とおくと、$A=(t,s), B=(s,t)$ である。三角形 $OAB$ の一辺の長さは $$|AB|=\sqrt{(s-t)^2+(t-s)^2}=\sqrt2(s-t)=\sqrt2(5+3\sqrt3).$$ 正三角形の面積は一辺を $l$ として $\sqrt3l^2/4$ だから、 従って三角形 $OAB$ の面積は $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}\{\sqrt2(5+3\sqrt3)\}^2=45+26\sqrt3.$$ 線分 $AB$ の方程式は $y=t+s-x$。さらに $ts=(2+\sqrt3)(7+4\sqrt3)=26+15\sqrt3=3(9+5\sqrt3)-1=3(t+s)-1$。これを通分に使うと、$t\le x\le s$ に対して $$\displaystyle (t+s-x)-f(x)=\frac{-x^2+(t+s)x-ts}{x-3}=\frac{(x-t)(s-x)}{x-3}\ge0.$$ 従って、求める領域は三角形 $OAB$ から線分 $AB$ と曲線の間の部分を除いたものである。その部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_t^s\{t+s-x-f(x)\}\,dx &=\left[(t+s-3)x-\frac{x^2}{2}-8\log(x-3)\right]_t^s\\ &=30+17\sqrt3-8\log\frac{s-3}{t-3}\\ &=30+17\sqrt3-8\log(8+4\sqrt3). \end{aligned}$$ ここで $x-3>0$ だから対数の中身は正である。よって $$S=(45+26\sqrt3)-(30+17\sqrt3-8\log(8+4\sqrt3)) =3(5+3\sqrt3)+8\log(8+4\sqrt3).$$ したがって $\text{コ}=8,\ \text{サ}=8,\ \text{シ}=4,\ \text{ス}=3$ である。