1獨協医科大学 2022年 2日目 数学 第1問解答・解説

(1)(i) $x>0$ かつ対数の底が1でないことから $x\ne1$ である。$u=\log_2x$ とおくと $u\ne0$ であり、$\displaystyle \log_x2=\frac1u$ だから $$\displaystyle u+\frac4u=-\frac{17}{2} \quad\text{すなわち}\quad 2u^2+17u+8=0 \quad\text{すなわち}\quad (2u+1)(u+8)=0.$$ よって $\displaystyle u=-\frac12,-8$ であり、$x=2^u$ より $\displaystyle x=\frac{\sqrt2}{2},\quad\frac1{256}$。どちらも定義域内にある。

(1)(ii) $u=\log_2x\ne0$ とし、$\displaystyle t=u+\frac4u$ とおく。対数の底の変換により $$\displaystyle u^2+\frac{16}{u^2}=t^2-8,\qquad \log_{\sqrt{x}}256=\frac{16}{u},\qquad \log_{1/2}(8x^4)=-(3+4u).$$ また $\displaystyle 4t=4u+\frac{16}{u}$ なので $$\displaystyle f(x)=t^2-8+\frac{16}{u}+3+4u=t^2+4t-5=(t+2)^2-9.$$ $u>0$ のとき $\displaystyle t-4=\frac{(u-2)^2}{u}\ge0$ より $t\ge4$。$u<0$ のとき $\displaystyle t+4=\frac{(u+2)^2}{u}\le0$ より $t\le-4$。従って $t\le-4$ または $t\ge4$。前者では $(t+2)^2\ge4$ なので $f\ge-5$（等号 $t=-4$）、後者では $(t+2)^2\ge36$ なので $f\ge27$。よって全体の最小値は -5。$t=-4$ は $u=-2$ で実現し、$\displaystyle x=2^{-2}=\frac14$ である。

(2) 3枚の選び方は $\displaystyle \binom93=84$ 通りで等確率である。奇数カードは5枚なので、Tが奇数となる選び方は $\displaystyle \binom53=10$ 通り。したがって $$\displaystyle P(T\text{ が偶数})=1-\frac{10}{84}=\frac{74}{84}=\frac{37}{42}.$$ Tが4の倍数でないのは、4または8を選ばず、2と6を合わせて高々1枚選ぶ場合に限る。その数は、2・6を選ばず奇数3枚を選ぶ $\displaystyle \binom53$=10 通りと、2・6の一方を選び奇数2枚を選ぶ $\displaystyle 2\binom52=20$ 通り、計30通り。よって $$\displaystyle P(4\mid T)=1-\frac{30}{84}=\frac{54}{84}=\frac9{14}.$$ 和を3で割った余りでカードを分類すると、余り0,1,2の各組はそれぞれ3枚ずつである。3枚の和が3の倍数となる余りの組合せは、同じ余りを3枚選ぶ場合（各組1通り、計3通り）または各余りから1枚ずつ選ぶ場合（$3^3=27$通り）であり、合計30通り。したがって $$\displaystyle P(3\mid S)=\frac{30}{84}=\frac5{14}.$$