3昭和大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1-1) 3回の結果は順序を区別して $8^3=512$ 通りあり、すべて同様に確からしい。$R=1$ となるには、最小値が $k$、最大値が $k+1$（$k=1,\ldots,7$）であり、3回ともこの2数のどちらかを読み、両方が少なくとも1回現れればよい。各 $k$ について該当する並びは $2^3-2=6$ 通りなので、 $$\displaystyle P(R=1)=\frac{7\cdot6}{8^3}=\frac{42}{512}=\frac{21}{256}.$$

(1-2) 最小値を $m$ とすると、最大値 $m+4$ となる $m$ は $1,2,3,4$ の4通りである。各 $m$ について、3個の数字は $m,m+1,\ldots,m+4$ から選ばれ、端の $m,m+4$ がともに少なくとも1回現れる。該当する並びの数は、端のどちらかが現れない場合を除く包含排除により $$5^3-2\cdot4^3+3^3=24.$$ 従って $$\displaystyle P(R=4)=\frac{4\cdot24}{8^3}=\frac{96}{512}=\frac{3}{16}.$$

(1-3) 最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$\displaystyle P(M\le j)=(\frac j8)^3$ であるから、 $$\displaystyle E[M]=\sum\limits _{j=1}^{8}P(M\ge j) =\sum\limits _{j=1}^{8}\left(1-\left(\frac{j-1}{8}\right)^3\right) =8-\frac{1^3+\cdots+7^3}{512} =8-\frac{28^2}{512}=\frac{207}{32}.$$ 同様に $\displaystyle P(m\ge j)=(\frac{9-j}{8})^3$ より $$\displaystyle E[m]=\sum\limits _{j=1}^{8}P(m\ge j) =\frac{1^3+\cdots+8^3}{512} =\frac{36^2}{512}=\frac{81}{32}.$$ $R=M-m$ なので $$\displaystyle E[R]=E[M]-E[m]=\frac{207-81}{32}=\frac{63}{16}.$$

(2) 対数の定義域から $a>0,\ a\ne1$ である。$u=\log_a5$ とおけば $u\ne0$ であり、底の変換関係から $$\displaystyle \log_5a^2=2\log_5a=\frac2u.$$ したがって方程式は $\displaystyle x^2+ux+\frac2u=0$ となる。2つの異なる負の実数解をもつためには、解の積が正、和が負、判別式が正であることが必要十分である。解の積は $\displaystyle \frac2u$、和は $-u$ なので、積が正であることから $u>0$ となり、このとき和も負である。判別式の条件は $$\displaystyle u^2-\frac8u>0 \quad\text{すなわち}\quad u^3>8 \quad\text{すなわち}\quad u>2.$$ よって $\log_a5>2$。これは $a>1$ のもとで $a^2<5$ と同値であるから、 $$1<a<\sqrt5.$$ この範囲では積が正、和が負、判別式が正となるので、確かに異なる負の解をもつ。

(3-1) $\Phi(u,v)=\begin{pmatrix}u&v\\-v&u\end{pmatrix}$ とおくと、成分ごとの積の計算から $$\Phi(u,v)\Phi(s,t)=\Phi(us-vt,ut+vs)$$ である。$A=\Phi(a,b)$ に対し $B=A^2$ だから $B^2=A$ は $A^4=A$ を意味する。これを対応する実数の組の積で考え、$p=(a,b)$、単位組を $e=(1,0)$ とおくと $p^4=p$、すなわち $$p(p^3-e)=(0,0).$$ 組の積を $(u,v)(s,t)=(us-vt,ut+vs)$ と書けば、 $$(us-vt)^2+(ut+vs)^2=(u^2+v^2)(s^2+t^2).$$ $b>0$ より $a^2+b^2>0$ なので、この等式から $p(p^3-e)=(0,0)$ なら $p^3-e=(0,0)$ である。従って $A^3=I$。成分を直接掛けても $$A^3= \begin{pmatrix} a^3-3ab^2&3a^2b-b^3\\ -(3a^2b-b^3)&a^3-3ab^2 \end{pmatrix}=I$$ となる。

(3-2) $A^3=I$ の成分を比較すると $$a^3-3ab^2=1,\qquad b(3a^2-b^2)=0.$$ $b>0$ より $b^2=3a^2$ であり、これを前式に代入すると $-8a^3=1$、従って $\displaystyle a=-\frac12$。さらに $b>0$ だから $\displaystyle b=\frac{\sqrt3}{2}$ である。このとき実際に $A^3=I$ となり、$B=A^2$ とおけば $B^2=A^4=A$ を満たす。