3神戸大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{さいころ3回の出方はすべて同様に確からしく、その総数は}\;6^3=216\text{通りである。}\quad \text{(1) }x=1\text{が解である条件は}\;1-a+b=0\text{、すなわち}\;b=a-1\text{である。}\text{ }b\text{は2回目と3回目の出目の和だから、} \begin{array}{c|cccc}a&3&4&5&6\\\hline b=a-1&2&3&4&5\\(2,3)\text{回目の出方}&1&2&3&4\end{array} \text{となる。}a=1,2\text{では}b<2\text{なので該当しない。したがって有利な出方は}\;1+2+3+4=10\text{通りであり、求める確率は}\;\dfrac{10}{216}=\boxed{\dfrac{5}{108}}\text{である。}\quad \text{(2) }(*)\text{が整数解}r\text{をもつとする。解と係数の関係より、もう一つの解を}s\text{とすると}\;r+s=a\text{だから}\;s=a-r\text{も整数である。また}\;rs=b\text{であり、}b\text{は2回目と3回目の出目の和なので}\;b\ge2>0\text{である。よって}\;r,s\text{は同符号である。一方}\;r+s=a\ge1\text{だから、}r,s\text{はともに正の整数である。もし両方が3より大きければ、整数なので}\;r+s\ge4+4=8\text{となるが、}a\le6\text{に反する。したがって少なくとも一方の解は3以下である。}\quad \text{(3) (2)より、整数解をもつ出方では正整数の解}r,s\text{の和が}a\text{である。解の順序を区別せず、各}a\text{について組と積}b=rs\text{を挙げる。2回目・3回目の出目は順序を区別するので、和が}b\text{となる出方の数も数えると次の通りである。} \begin{array}{c|c|c|c}a&(r,s)\text{の組}&b=rs&\text{和が}b\text{となる出方数}\\\hline1&\text{なし}&-&0\\2&(1,1)&1&0\\3&(1,2)&2&1\\4&(1,3),(2,2)&3,4&2+3=5\\5&(1,4),(2,3)&4,6&3+5=8\\6&(1,5),(2,4),(3,3)&5,8,9&4+5+4=13\\\hline&&&27\end{array} \text{ここで、例えば和が}b\text{となる順序つきの出方数は}\;b=2,3,4,5,6,8,9\text{に対してそれぞれ}\;1,2,3,4,5,5,4\text{である。}a=2\text{では必要な}b=1\text{が出ない。表より有利な出方は計}27\text{通りだから、求める確率は}\;\dfrac{27}{216}=\boxed{\dfrac18}\text{である。}$$