5神戸大学 2018年 数学 第5問解答・解説

解説 直線 $OC$ の方向に沿う位置と、直線からの距離を使うと回転で保存される量がはっきりする。三角形内の点 $Q=(u,v,0)$ では $u,v\ge0$、$u+v\le2$。その軸方向位置は $(u+v)/\sqrt2$、回転半径は $|u-v|/\sqrt2$ である。回転後の点 $P$ では軸方向位置が $(x+y)/\sqrt2$、半径の二乗が $(x-y)^2/2+z^2$。この対応から(2)の必要条件を得る。逆向きには $P$ の半径から $u,v$ を作り、三角形の点に戻せるため十分性も成り立つ。

(3)は $x=a$ の平面で切ると、$y$ が $0$ から $2-a$ まで動き、$z$ の幅が $2\sqrt{2ay}$ になるため、その幅を積分する。(4)は断面積を $a=1$ から $2$ まで積分する。三角置換 $a=2\sin^2\theta$ の後、二倍角公式で定積分を計算した。

答え (1) $\overrightarrow{OH}=((x+y)/2,(x+y)/2,0)$、$\overrightarrow{HP}=((x-y)/2,(y-x)/2,z)$。 (2) $z^2\le2xy$ かつ $0\le x+y\le2$。 (3) $\displaystyle S(a)=\frac43\sqrt{2a}(2-a)^{3/2}$。 (4) $\displaystyle V=\frac{\sqrt2(3\pi-4)}9$。