2神戸大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$k\geq2$ は整数で、$x>0$ に対し $$\displaystyle f(x)=\frac1k\left((k-1)x+x^{-(k-1)}\right)$$ とする。

(1) 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{k-1}{k}(1-x^{-k}),\qquad f''(x)=(k-1)x^{-(k+1)}>0.$$ したがって $0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。最小値は $f(1)=1$ である。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=+\infty, \qquad f(x)-\frac{k-1}{k}x=\frac{1}{kx^{k-1}}\longrightarrow0\quad(x\to+\infty).$$ よって漸近線は、右側から近づく垂直漸近線 $x=0$ と、斜漸近線 $$\displaystyle y=\frac{k-1}{k}x$$ である。グラフは $x=1$ で最小値 $1$ をとり、そこから左右に上昇する形（$x=0$ から下がって $(1,1)$ に至り、その後は上昇して斜漸近線に上から近づく）となる。

(2) $x_1>1$ である。$x_n>1$ ならば、(1)より $f$ は $x>1$ の範囲で増加し、 $$x_{n+1}=f(x_n)>f(1)=1.$$ したがって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $$\boxed{x_n>1}$$ である。

(3) $x_n>1$ と $$\displaystyle x_{n+1}=\frac{k-1}{k}x_n+\frac{1}{kx_n^{k-1}}$$ から $$\displaystyle \begin{aligned} x_{n+1}-1 &=\frac{k-1}{k}(x_n-1)-\frac{1-x_n^{-(k-1)}}{k}\\ &<\frac{k-1}{k}(x_n-1), \end{aligned}$$ となる。不等号は $x_n>1$ より $1-x_n^{-(k-1)}>0$ であることによる。

$q=(k-1)/k$ とおくと $0<q<1$ であり、(2)と上の不等式から $$0<x_n-1<q^{n-1}(x_1-1).$$ 右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので、はさみうちにより $x_n-1\to0$。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}x_n=1}.$$