3京都府立医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle g(x)=\log(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}$ とおくと、$g(0)=0$ であり、$x>0$ に対して $$\displaystyle g'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}>0.$$ よって $g(x)>g(0)=0$、すなわち $\displaystyle x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)$ である。

次に $\displaystyle h(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\log(1+x)$ とおくと、$h(0)=0$ であり $$\displaystyle h'(x)=1-x+x^2-\frac{1}{1+x}=\frac{x^3}{1+x}>0.$$ したがって $h(x)>0$、すなわち $\displaystyle \log(1+x)<x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$ である。

(2) $P_n$ を $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\left(x^2f_n\left(\frac1x\right)-x\right)=-\frac n2$$ という命題とする。

まず $n=1$ のとき、(1)に $1/x$ を代入して $x^2$ 倍すると $$\displaystyle -\frac12<x^2f_1\left(\frac1x\right)-x<-\frac12+\frac{1}{3x}.$$ はさみうちの原理により $P_1$ が成り立つ。

$n$ で $P_n$ が成り立つと仮定し、$u=f_n(1/x)$ とおく。各 $f_n$ は正の引数に対して正の値をとるので $u>0$ である。(1)を $u$ に適用し、漸化式 $f_{n+1}(1/x)=f_1(u)$ を用いると $$\displaystyle u-\frac{u^2}{2}<f_{n+1}\left(\frac1x\right)<u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}.$$ ここで $X_n=x^2u-x$ とおけば $$\displaystyle X_n-\frac{x^2u^2}{2}<x^2f_{n+1}\left(\frac1x\right)-x<X_n-\frac{x^2u^2}{2}+\frac{x^2u^3}{3}.$$ 仮定より $X_n\to-n/2$ であり、$xu=1+X_n/x\to1$ だから $$\displaystyle x^2u^2=(xu)^2\to1,\qquad x^2u^3=\frac{(xu)^3}{x}\to0.$$ 従って再びはさみうちの原理により $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\left(x^2f_{n+1}\left(\frac1x\right)-x\right)=-\frac n2-\frac12=-\frac{n+1}{2}.$$ 以上から数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $P_n$ が成り立つ。