5岐阜大学 2014年 数学 第5問解答・解説

(1) $r_1(x)=e^x-1-x$ について、$r_1(0)=0$ かつ $r_1'(x)=e^x-1\ge0\ (x\ge0)$ だから $r_1(x)\ge0$。 次に、ある正整数 $n$ について $r_n(x)\ge0$ がすべての $x\ge0$ で成り立つと仮定する。定義を微分すると $$\displaystyle r_{n+1}'(x)=e^x-\left(1+x+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)=r_n(x)\ge0.$$ また $r_{n+1}(0)=0$ なので、$r_{n+1}$ は $x\ge0$ の範囲 で0以上。これで $n$ に関する帰納法が示された。

(2) (1)を $n+1$ に適用すると、$x\ge0$ に対して $$\displaystyle e^x\ge1+x+\cdots+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\ge\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$ よって $x>0$ では $$\displaystyle 0\le x^ne^{-x}\le\frac{(n+1)!}{x}\longrightarrow0\quad(x\to\infty),$$ はさみうちの原理から $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}x^ne^{-x}=0$。

(3) $\displaystyle I_k(t)=\int_0^t x^ke^{-x}\,dx\ (k=0,1,\ldots,n)$ とおく。 $I_0(t)=1-e^{-t}\longrightarrow1$。 $k\ge1$ に対し部分積分すると $$I_k(t)=\left[-x^ke^{-x}\right]_0^t+kI_{k-1}(t)=-t^ke^{-t}+kI_{k-1}(t).$$ (2)より $t^ke^{-t}\to0$ だから、$I_k$ の極限が存在すれば $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}I_k(t)=k\lim\limits _{t\to\infty}I_{k-1}(t).$$ これを $k=1,2,\ldots,n$ と順に用いると、 $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}f(t)=\lim\limits _{t\to\infty}I_n(t)=n(n-1)\cdots1\cdot1=n!.$$