3岐阜大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 十の位の数字を求めるには，100で割った余りを調べればよい。 $$2014^{10}\equiv14^{10}\pmod{100},\quad 14^2\equiv96,\quad 14^4\equiv96^2\equiv16,\quad 14^8\equiv16^2\equiv56\pmod{100}.$$ したがって $$14^{10}\equiv14^8\cdot14^2\equiv56\cdot96=5376\equiv76\pmod{100},$$ よって十の位の数字は7である。

(2) 十万の位を求めるため，まず最後の6桁を求める。 $$2014^2\equiv56{,}196\pmod{10^6},\qquad 2014^4\equiv56{,}196^2=3{,}157{,}990{,}416\equiv990{,}416\pmod{10^6}.$$ また，$990{,}416\equiv-9{,}584\pmod{10^6}$ なので $$2014^8\equiv(-9{,}584)^2=91{,}853{,}056\equiv853{,}056\pmod{10^6}.$$ よって $$2014^{10}\equiv853{,}056\cdot56{,}196 =47{,}938{,}334{,}976\equiv334{,}976\pmod{10^6}.$$ 最後の6桁は334976であるから，十万の位の数字は3である。

(3) $2014=2(1000+7)$ とおくと $$\displaystyle x=\frac{2014^{10}}{10^{30}}=1024\left(1+\frac7{1000}\right)^{10}.$$ 二項定理により $$\displaystyle \left(1+\frac7{1000}\right)^{10} =1+0.07+0.002205+0.00004116+R, \quad R=\sum\limits _{k=4}^{10}\binom{10}{k}(0.007)^k.$$ $k\ge4$ では隣り合う項の比は $$\displaystyle \frac{\binom{10}{k+1}(0.007)^{k+1}}{\binom{10}{k}(0.007)^k} =\frac{10-k}{k+1}\cdot0.007\le0.0084<1.$$ したがって残り7項はすべて第4項以下であり， $$\displaystyle 0<R<7\binom{10}{4}(0.007)^4 =7(0.00000050421)<0.000004.$$ よって $$\displaystyle 1.07<\left(1+\frac7{1000}\right)^{10}<1.07225016<1.073,$$ したがって $$1095.68=1024\cdot1.07<x<1024\cdot1.073=1098.752.$$ 特に $1090<x<1100$ であるから，$2014^{10}$ は $10^{30}$ を単位として1090以上1100未満の範囲にあり，上3桁は109である。