2岐阜大学 2014年 数学 第2問解答・解説

サイコロの全結果は$6^3=216$通りで等確率。 (1) $f(1)=0$は$3(a+c)=2b$。整数条件から可能なのは$b=3,6$。それぞれ$a+c=2$は1通り、$a+c=4$は3通りなので確率$4/216=1/54$。 (2) 異なる二実根の条件は $$\Delta=(-2b)^2-4(3a)(3c)=4(b^2-9ac)>0.$$ b=1,2,3は該当なし、b=4,5,6の組数は1,3,5。確率は$9/216=1/24$。 (3) 根を$\alpha<\beta$とすると $$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2\sqrt{b^2-9ac}}{3a},\qquad S=\int_\alpha^\beta -3a(x-\alpha)(x-\beta)dx =\frac{4(b^2-9ac)^{3/2}}{27a^2}.$$ $b^2-9ac\le36-9=27$、$a^2\ge1$なので$S\le12\sqrt3$。$(a,b,c)=(1,6,1)$で等号。