3九州大学 2019年 数学 第3問解答・解説

サイコロの目を$a,b,c$とする全$6^3=216$組は同様に確からしい。判別式を$\Delta=b^2-4ac$とおく。

(1) 2解が一致するのは$\Delta=0$、すなわち$ac=b^2/4$のときである。$b$は偶数なので、$b=2,4,6$を調べる。$b=2$では$ac=1$が1組、$b=4$では$ac=4$が3組、$b=6$では$ac=9$が1組。合計5組なので確率は$5/216$。

(2) $\Delta\ge0$の実根の場合、根の積は$c/a>0$なので、両根が単位円周上にあるなら根は同符号の$1,1$または$-1,-1$。係数$b>0$より$1,1$は不可能。$-1,-1$では$b=2a,c=a$となり、$a=1,2,3$の3組。

$\Delta<0$なら根は共役で、$|z_1|^2=z_1z_2=c/a$。従って両根が単位円周上にある条件は$c=a$かつ$b<2a$。$a=1,2,3,4,5,6$に対する$b$の個数はそれぞれ$1,3,5,6,6,6$で計27組。合わせて$30$組だから確率は$30/216=5/36$。

(3) 実根なら2本の直線は実軸で一致するので対象外。複素根を$p+qi,p-qi\ (p<0,q>0)$とすると、根を表すベクトルのなす角$\varphi$は $$\displaystyle \cos\varphi=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2},\qquad p=-\frac{b}{2a},\quad q=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.$$ 直線同士の鋭角が$60^\circ$となるのは$\cos\varphi=\pm1/2$のときである。$\cos\varphi=1/2$から$p^2=3q^2$、従って$b^2=3ac$。$\cos\varphi=-1/2$から$q^2=3p^2$、従って$ac=b^2$。どちらも$\Delta<0$を満たし、両条件は同時には成立しない。

$ac=b^2$の組数は$b=1,2,3,4,5,6$に対して$1,3,1,1,1,1$、合計8。$b^2=3ac$では$b=3,6$に限られ、$ac=3$が2組、$ac=12$が4組で計6。従って該当組は$8+6=14$、確率は$14/216=7/108$。