1獨協医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

次の問いに答えなさい。

(1) 座標平面上で方程式 $$7x^{2}+4\sqrt{3}xy+3y^{2}=4$$ を満たす点 $(x,y)$ の集合を $C$ とする。集合 $C$ に属する点 $P$ について，原点 $O$ との距離 $OP$ の最大値および最小値を次の手順で求める。

$OP=r\ (r>0)$，$x$ 軸の正の部分から半直線 $OP$ までの回転角を $\theta\ (0\leq\theta<2\pi)$ とすると，点 $P$ の座標は $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ と表すことができる。$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ とおいて，$7x^{2}+4\sqrt{3}xy+3y^{2}$ を $r$ と $\theta$ を用いて表すと $$\displaystyle \begin{aligned} 7x^{2}+4\sqrt{3}xy+3y^{2} &=r^{2}\left(\boxed{\text{ア}}\cos2\theta+\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\sin2\theta+\boxed{\text{エ}}\right)\\ &=r^{2}\left\{\boxed{\text{オ}}\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{\boxed{\text{カ}}}\right)+\boxed{\text{エ}}\right\} \end{aligned}$$ となる。これより $OP$ は，$\theta$ の範囲に注意すると，$\displaystyle \theta=\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\pi,\ \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{ク}}}\pi$ のとき最大値 $\boxed{\text{コ}}$ をとり，$\displaystyle \theta=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi,\ \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ をとることがわかる。 ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ケ}},\ \boxed{\text{サ}}<\boxed{\text{ス}}$ とする。

(2) 双曲線 $H:x^{2}-y^{2}=1$ と直線 $\ell:y=k(x-1)+3$（$k$ は定数）について，$H$ と $\ell$ がただ1つの共有点をもつような定数 $k$ の値は $\displaystyle k=\pm\boxed{\text{タ}},\ \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。また，$H$ と $\ell$ が異なる2点 $A,B$ で交わるとき，$A,B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\beta$ とする。$\alpha+\beta$ の値を $k$ を用いて表すと $$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\boxed{\text{テ}}k^{2}-\boxed{\text{ト}}k}{k^{2}-\boxed{\text{ナ}}}$$ であり，点 $Q(1,3)$ について，$AQ=BQ$ を満たす定数 $k$ の値は $\displaystyle k=\frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ である。