2獨協医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=2^{x+y}>0$ とおくと、$t=u+u^{-1}$ であり、$u^3+u^{-3}=t^3-3t$、$u^2+u^{-2}=t^2-2$ である。したがって不等式(1)の左辺は $$2(u^3+u^{-3})+(u^2+u^{-2})-5t-8=2t^3+t^2-11t-10=(t+2)(t+1)(2t-5).$$ また $u+u^{-1}\ge2$ より $t\ge2$。よって左辺が $0$ 以下となる条件は $2\le t\le5/2$ である。$v=x+y$ とすれば $u=2^v$ だから、$t\le5/2$ は $$\displaystyle 2^v+2^{-v}\le\frac52 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 2^{2v}-\frac52\,2^v+1\le0 \quad\text{、すなわち}\quad \frac12\le2^v\le2.$$ 底が $2>1$ なので $-1\le v\le1$、すなわち $-1\le x+y\le1$。

(2) 対数の定義から $x>0,\ x\ne1$。$s=\log_2x$ とすると $s\ne0$、$\log_2x^2=2s$、$\log_x8=3/s$ である。したがって条件(2)は $$\displaystyle s^2-2s+\frac3s\le0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \frac{s^3-2s^2+3}{s}\le0 \quad\text{、すなわち}\quad \frac{(s+1)(s^2-3s+3)}s\le0.$$ 二次式 $s^2-3s+3$ は判別式が $-3$ で、常に正である。よって不等式が成り立つのは $-1\le s<0$。底 $2>1$ より $1/2\le x<1$ となる。

最後に $v=x+y$ とおくと $3x+2y=x+2v$。独立な範囲 $x\ge1/2$、$v\ge-1$ から $x+2v\ge1/2-2=-3/2$。この値は $x=1/2, v=-1$（すなわち $y=-3/2$）で実際に取れるので最小値は $-3/2$ である。