8秋田大学 2021年 数学 第8問解答・解説

(i) $f(x)=e^{p(x)}$ とおくと $p(x)=x^3-x$ である。$k\le0$ なら共有点はない。$k>0$ のとき、指数関数の単調性より共有点の個数は $p(x)=\log k$ の実数解の個数に等しい。 $$\displaystyle p'(x)=3x^2-1=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x=\pm\frac1{\sqrt3}.$$ $p$ は $x=-1/\sqrt3$ で極大値 $A=2/(3\sqrt3)$ をとり、$x=1/\sqrt3$ で極小値 $-A$ をとる。したがって $$\displaystyle \begin{array}{c|c} k\text{ の範囲}&\text{共有点の個数}\\\hline k\le0&0\\ 0<k<e^{-A}\text{ または }k>e^A&1\\ k=e^{-A}\text{ または }k=e^A&2\\ e^{-A}<k<e^A&3 \end{array}\qquad\left(A=\frac{2}{3\sqrt3}\right).$$ 極値に一致する場合は接する重解と別の単純解があるため、異なる共有点は2個である。

(ii) $e^{x^3-x}=e^x$ より $x^3-x=x$、したがって $$x(x^2-2)=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x=0,\ \pm\sqrt2.$$ 各点で $y=e^x$ だから共有点は $$(-\sqrt2,e^{-\sqrt2}),\qquad(0,1),\qquad(\sqrt2,e^{\sqrt2}).$$

(iii) $f(-x)=e^{-x^3+x}=1/f(x)$ であり、また $e^{-x}=1/e^x$ である。よって写像 $(x,y)\mapsto(-x,1/y)$ は2つの曲線をそれぞれ自身に移し、囲まれた部分 $D$ も自身に移す。高さ $y=e^{1/3}$ の水平線分はこの写像で高さ $y=e^{-1/3}$ の水平線分に移り、$x$ 座標を反転するだけなので、線分全体の長さの合計は変わらない。条件 $m\ne e^{1/3}$ も満たすから $$m=e^{-1/3}$$ とすればよい。