3東京医科歯科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $C_1$ 上の接点を $(t,a^t)$ とする。この点での接線の傾きは $a^t\ln a$ である。接線が原点を通るためには，接線の切片が0，すなわち $a^t-t a^t\ln a=0$ でなければならない。$a^t>0$ より $t=1/\ln a$ である。したがって $$k=a^{1/\ln a}\ln a=e\ln a,\qquad a=e^{k/e},$$ 接点は $\left(1/\ln a,e\right)$ である。

(2) $C_2$ 上の接点を $(t,\log_a t)$ とすると，接線の傾きは $1/(t\ln a)$ である。接線が原点を通る条件は $$\displaystyle \log_a t=t\cdot\frac1{t\ln a}=\frac1{\ln a}.$$ よって $\ln t=1$，すなわち $t=e$ であり，接点は $\left(e,1/\ln a\right)$ である。

(3) $Q=(u,\log_a u)$ を直線 $y=x$ に関して反転した点を $R=(\log_a u,u)$ とすると，点$R$は曲線$C_1$上にあり，$|OR|=|OQ|$ である。$P,R$ の偏角をそれぞれ $\theta_P,\theta_R$ とすると，$Q$ の偏角は $\pi/2-\theta_R$ である。したがって正三角形となるには $$\theta_P-(\pi/2-\theta_R)=\pm\pi/3, \quad\text{すなわち}\quad \theta_P+\theta_R=\pi/6\ \text{または}\ 5\pi/6$$ でなければならない。

$P=(x,a^x),R=(y,a^y)$ が異なる点で $|OP|=|OR|$ を満たす場合を考える。$x,y\le0$ なら両偏角は $\pi/2$ 以上なので和は $\pi$ より大きい。$x,y\ge0$ では $t^2+a^{2t}$ が $t\ge0$ で増加するため，異なる点で同じ長さにはならない。残る場合を $x<0<y$ とすると， $$x^2+a^{2x}=y^2+a^{2y}$$ より $-x>y$ である。また $$\displaystyle \frac{a^y/y}{a^x/(-x)}=a^{y-x}\frac{-x}{y}>1$$ なので，$\theta_R>\pi-\theta_P$，したがって $\theta_P+\theta_R>\pi$ となる。以上より，必要な角度条件を満たすには $P=R$ でなければならない。

このとき $P=(x,a^x)$, $Q=(a^x,x)$ である。$x<0$ では偏角 $\theta_P>\pi/2$ となり角度差は $60^\circ$ にならない。さらに $x=0$ なら $P=(0,1), Q=(1,0)$ であり，$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$ だから $\angle POQ=90^\circ$ となり，正三角形ではない。したがって $x>0$ である。$P$ の偏角を $\theta$ とすると，反転した $Q$ との角度差は $|2\theta-\pi/2|$ である。これが $\pi/3$ となる条件は $\theta=\pi/12$ または $5\pi/12$，すなわち $$\displaystyle \frac{a^x}{x}=\tan15^\circ=2-\sqrt3 \quad\text{または}\quad \frac{a^x}{x}=\tan75^\circ=2+\sqrt3.$$

$f(x)=a^x/x\ (x>0)$ とおくと $$\displaystyle f'(x)=\frac{a^x(x\ln a-1)}{x^2}.$$ よって $f$ は $x=1/\ln a$ で最小値 $e\ln a$ をとり，$x\to0+$ および $x\to\infty$ で $f(x)\to\infty$ となる。したがって水平値 $c>0$ に対し，$c>e\ln a$ なら方程式 $f(x)=c$ の解は2個，$c=e\ln a$ なら1個，$c<e\ln a$ なら0個である。二つの値 $2-\sqrt3<2+\sqrt3$ をこの条件と比較すれば， $$\begin{array}{c|ccccc} a&1<a<A_-&a=A_-&A_-<a<A_+&a=A_+&a>A_+\\ \hline \text{組数}&4&3&2&1&0 \end{array}$$ $$\displaystyle \left(A_-=\exp\frac{2-\sqrt3}{e},\ A_+=\exp\frac{2+\sqrt3}{e}\right).$$ 各 $x$ は $P$ を定め，反転点 $Q$ は一意に定まるので，この解の個数が求める順序付き組 $(P,Q)$ の個数である。