3旭川医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{問1. } f_a(x)=e^{ax}-x\ (a>0)\text{ とおく。} f_a'(x)=ae^{ax}-1,\quad f_a''(x)=a^2e^{ax}>0. f_a'(x)=0\text{ の解は }x_0=-\frac{\ln a}{a}\text{ であり、}f_a\text{ はここで最小となる。} f_a(x_0)=\frac1a+\frac{\ln a}{a}=\frac{1+\ln a}{a}. \lim\limits _{x\to\pm\infty}f_a(x)=+\infty\text{ なので、曲線と直線が共有点をもたない条件はこの最小値が正であること、すなわち }a>\frac1e\text{ である。} \text{問2. }P=(t,e^{at}),\ Q=(u,u)\text{ とすると} PQ^2=(t-u)^2+(e^{at}-u)^2=2\left(u-\frac{t+e^{at}}2\right)^2+\frac{(e^{at}-t)^2}{2}. \text{したがって }t\text{ を固定したときの最小距離は }\frac{|e^{at}-t|}{\sqrt2}\text{ である。問1の範囲では }f_a(t)>0\text{ だから、さらに }t\text{ について最小化すれば} d(a)=\frac{1}{\sqrt2}\min\limits _t f_a(t)=\frac{1+\ln a}{\sqrt2a}\quad(a>1/e). \text{最小となる }t=-\frac{\ln a}{a}\text{ では }e^{at}=1/a\text{ より }P_a=\left(-\frac{\ln a}{a},\frac1a\right). C_a\text{ の接線の傾きは }y'=ae^{at}\text{ なので、}P_a\text{ での傾きは }1\text{ である。} \text{軌跡では }y=1/a\text{ とおくと }0<y<e,\ x=-\frac{\ln a}{a}=y\ln y\text{ となる。よって} x=y\ln y\quad(0<y<e). \text{概形は }y\to0+\text{ で }(x,y)\to(0,0)、y=1/e\text{ で }(-1/e,1/e)\text{ に至り、ここで }dx/dy=1+\ln y=0\text{ となるため接線は鉛直。さらに }(0,1)\text{ を通って、}y\to e-\text{ で除外端点 }(e,e)\text{ に近づく。} \text{問3. }d'(a)=\frac{-\ln a}{\sqrt2a^2}\text{ である。したがって }1/e<a<1\text{ で増加し、}a>1\text{ で減少する。よって最大値は }d(1)=1/\sqrt2\text{ である。}$$