4旭川医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

問1 袋Aから2個取り出したとき、赤玉が2個である確率は $$\displaystyle \frac{\binom52}{\binom62}=\frac{10}{15}=\frac23,$$ 赤玉が1個である確率は $$\displaystyle \frac{\binom51\binom11}{\binom62}=\frac{5}{15}=\frac13.$$ 袋Bから2個取り出したとき、赤玉が0個、1個、2個である確率はそれぞれ $$\displaystyle \frac{\binom20\binom22}{\binom42}=\frac16,\qquad \frac{\binom21\binom21}{\binom42}=\frac23,\qquad \frac{\binom22\binom20}{\binom42}=\frac16$$ である。合計が3個以上となるのは、(i) Aから2個赤玉を取り、Bから少なくとも1個赤玉を取る場合、または (ii) Aから1個赤玉を取り、Bから2個赤玉を取る場合である。袋ごとの取り出しは独立だから、求める確率は $$\displaystyle \frac23\left(\frac23+\frac16\right)+\frac13\cdot\frac16 =\frac23\cdot\frac56+\frac1{18} =\frac{11}{18}.$$

問2 見た目で区別できない2袋のどちらかを選ぶので、各袋を選ぶ確率は $1/2$ である。Aから赤玉を引く確率は $5/6$、Bから赤玉を引く確率は $2/4=1/2$ だから、求める確率は $$\displaystyle \frac12\cdot\frac56+\frac12\cdot\frac12 =\frac5{12}+\frac14=\frac23.$$

問3 袋Aから2個取り出したとき、「少なくとも1個が白玉」と判断する確率を求める。Aには白玉が1個しかないので、取り出した2個がともに赤玉となる確率は $$\displaystyle \frac{\binom52}{\binom62}=\frac23.$$ したがって少なくとも1個が白玉となる確率は $$\displaystyle 1-\frac23=\frac13.$$ ゆえに、袋Aを選んだのに袋Bと判断してしまう確率は $\displaystyle \frac13$ である。