4信州大学 2016年 数学 第4問解答・解説

判定 採用。 原文 PDF p.5 の問4と指定旧答 A089 を照合。各回の手が独立一様、敗者は脱落して勝ち手の人だけが残る規則に沿い、(1)〜(3) の場合分けと確率計算は正しい。表示タグの差分はない。

数学確認 (1) 1回目に勝者がただ1人となるには、勝ち手が3通り、唯一の勝者が $n$ 人から選べる。全 $3^n$ 通りに対して $$\displaystyle P=\frac{3n}{3^n}=\frac{n}{3^{n-1}}.$$

(2) あいこは全員同じ手（3通り）か3種類すべての手。後者は包除原理で $3^n-3\cdot2^n+3$ 通り。合計は $3^n-3\cdot2^n+6$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{3^n-3\cdot2^n+6}{3^n}.$$

(3) $n=5$。1回目のあいこ確率は $153/243=17/27$。その後5人で1回目に唯一の勝者となる確率は $5/81$。1回目に2種類のみが出て勝ち手の人数が $k=2,3,4$ 人となる確率は $\displaystyle 3\binom5k/3^5$。残る $k$ 人が次の1回で唯一の勝者となる確率は $k/3^{k-1}$。従って $$\displaystyle \frac{17}{27}\frac5{81}+\sum\limits _{k=2}^4\frac{3\binom5k}{3^5}\frac{k}{3^{k-1}}=\frac{125}{729}.$$ $k=1$ は1回目で終了するため除外し、あいこなら全員が2回目に参加する。指定旧答 A089 の結論・場合分けと一致する。