6信州大学 2016年 数学 第6問解答・解説

(1)

$n=0$ を自然数に含める場合は，両辺とも $1$ である。以下 $n\ge1$ とし $$\displaystyle I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx$$ とおく。微分すると $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-\frac{x(1-x^2)^n}{2n}\right) =-\frac{(1-x^2)^n}{2n}+x^2(1-x^2)^{n-1}.$$ したがって端点でこの原始関数が $0$ になることから $$\displaystyle \int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}\,dx=\frac{I_n}{2n}.$$ ゆえに $$\displaystyle I_{n-1}=I_n+\int_0^1x^2(1-x^2)^{n-1}\,dx =\left(1+\frac1{2n}\right)I_n, \qquad I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}.$$ $I_0=1$ なので，この漸化式を用いて $$\displaystyle I_n=\prod\limits _{j=1}^n\frac{2j}{2j+1} =\frac{2^n n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)} =\frac{2^n n!}{(2n+1)!/(2^n n!)} =\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}.$$

(2)

二項定理と有限和の項別積分より $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(-1)^k}{2k+1} &=\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\int_0^1x^{2k}\,dx\\ &=\int_0^1\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k x^{2k}\,dx\\ &=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx\\ &=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}, \end{aligned}$$ ここで最後に (1) を用いた。