8信州大学 2016年 数学 第8問解答・解説

回転を複素数の積で表し、$a=e^{i\theta}$, $b=e^{i\theta'}$, $d_k=Q_k-P_k$ とおく。回転条件より $$Q_k=P_{k-1}+a d_{k-1},\qquad P_k-Q_k=b(P_{k-1}-Q_k)=-ab d_{k-1}.$$ 従って $d_k=ab d_{k-1}$ であり、また $$Q_{k+1}-Q_k=(P_k+a d_k)-Q_k=ab(a-1)d_{k-1}.$$ これから $$Q_{k+2}-Q_k=ab(a-1)(1+ab)d_{k-1}.$$ 各線分の長さは回転で保たれ、$d_{k-1}\ne0$、$ab\ne0$ なので、$Q_{k+2}=Q_k$ の必要十分条件は $a=1$ または $ab=-1$。すなわち $$\theta\equiv0\pmod{2\pi}\quad\text{または}\quad \theta+\theta'\equiv\pi\pmod{2\pi}.$$

(2) では $b=e^{-i\theta}=a^{-1}$ であり、$d_k=d_0$、$|d_0|=1$。したがって $$Q_n-Q_0=n(a-1)d_0,\qquad P_{n-1}-Q_0=\bigl((n-1)(a-1)-1\bigr)d_0 =\bigl((n-1)a-n\bigr)d_0.$$ よって $$|Q_n-Q_0|^2=2n^2(1-\cos\theta),$$ $$|P_{n-1}-Q_0|^2=n^2+(n-1)^2-2n(n-1)\cos\theta.$$ 円の内部・外部という条件は厳密不等式 $$|P_{n-1}-Q_0|^2<r^2<|Q_n-Q_0|^2$$ と同値である。上端と下端の差は $$|Q_n-Q_0|^2-|P_{n-1}-Q_0|^2=2n(1-\cos\theta)-1.$$ したがって、$2n(1-\cos\theta)>1$ の場合に限って取り得る値があり、その範囲は $$n^2+(n-1)^2-2n(n-1)\cos\theta<r^2<2n^2(1-\cos\theta).$$ この条件が成り立たない場合は、厳密な内外条件を満たす $r$ は存在しない。