5群馬大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1) $a=\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)$、$b=\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)$ である。ド・モアブルの定理から $a^n=b^n$ となる条件は $$\displaystyle n\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=2k\pi\quad(k\text{ は整数}),$$ すなわち $n=24k$。よって最小の自然数は $24$。

(2) $w=(4z+5)/(z+2)$ を $z$ について解くと $(w-4)z=5-2w$。$w=4$ はこの式を満たさないから、$z=(5-2w)/(w-4)$ である。$w=x+iy$ とすると、$|z|=1$ は $$|5-2w|=|w-4| \quad\text{すなわち}\quad (5-2x)^2+4y^2=(x-4)^2+y^2 \quad\text{すなわち}\quad (x-2)^2+y^2=1.$$ この円上に $w=4$ はないので、円周上の全ての点で逆変換が定義される。したがって $C$ は中心 $2$、半径 $1$ の円周 $|w-2|=1$。

(3) $u=b^n$ とおくと $|u|=1$。与式の絶対値を比較すると $$|4u+5|^2=|u+2|^2 \quad\text{すなわち}\quad 41+40\operatorname{Re}u=5+4\operatorname{Re}u,$$ ゆえに $\operatorname{Re}u=-1$。単位円上で実部が $-1$ となるのは $u=-1$ のみであり、元の等式の右辺は $(4u+5)/(u+2)=1$ だから $a^n=1$ も必要となる。従って $$n\equiv0\pmod6,\qquad n\equiv4\pmod8.$$ 最小の正整数は $n=12$。実際に $a^{12}=1$、$b^{12}=-1$ なので成立する。

単位円上の複素数を偏角で表し、べきの一致を周期条件に直した。分数一次変換は逆変換で単位円の像を求め、最後は絶対値条件から偏角の合同条件を得た。