3大阪公立大学 2022年 数学 第3問解答・解説

問1

ユークリッドの互除法で $$11=7+4,\qquad 7=4+3,\qquad 4=3+1.$$ これを逆にたどると $$1=4-3=2\cdot4-7=2(11-7)-7=2\cdot11-3\cdot7.$$ したがって $$\boxed{(x,y)=(-3,2)}$$ は $7x+11y=1$ を満たす。

問2

任意の整数 $x,y$ に対して $$6x+9y=3(2x+3y)$$ は3の倍数である。1は3の倍数ではないため、$6x+9y=1$ を満たす整数 $x,y$ は存在しない。

問3

$$\displaystyle \omega_n=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}$$ とおく。三角関数の加法定理を繰り返し用いると $$\displaystyle \omega_n^k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}$$ である（負の整数 $k$ に対しても、$\omega_n\ne0$ の逆数を用いて成り立つ）。また $$\omega_{pq}^{\,q}=\omega_p,\qquad \omega_{pq}^{\,p}=\omega_q.$$ $px+qy=1$ を満たす整数 $x,y$ があると仮定する。任意の $z\in X_{pq}$ を取ると、ある整数 $k$ によって $z=\omega_{pq}^{\,k}$ と書ける。よって $$\begin{aligned} z &=\omega_{pq}^{\,k(px+qy)}\\ &=(\omega_{pq}^{\,q})^{ky}(\omega_{pq}^{\,p})^{kx}\\ &=\omega_p^{\,ky}\omega_q^{\,kx}. \end{aligned}$$ $ky,kx$ は整数なので、$\omega_p^{\,ky}\in X_p$、$\omega_q^{\,kx}\in X_q$ である。したがって $z$ は $X_p$ の数と $X_q$ の数の積で表される。$z$ は任意だったから、これは $X_{pq}$ のすべての数について成り立つ。

問4

$\omega_n$ を問3の数とする。仮定より、ある整数 $u,v$ があって $$\omega_{pq}=\omega_p^{\,u}\omega_q^{\,v} =(\omega_{pq}^{\,q})^u(\omega_{pq}^{\,p})^v =\omega_{pq}^{\,qu+pv}.$$ 三角関数の加法定理から、$\omega_{pq}^{\,m}=1$ となるのは $m$ が $pq$ の倍数のときに限る。したがって $$qu+pv-1$$ は $pq$ の倍数である。

$p,q$ の共通の正の約数を $d$ とする。$d\mid p$ かつ $d\mid q$ なので、$d\mid(qu+pv)$ である。また $d\mid pq$ だから、$pq\mid(qu+pv-1)$ より $d\mid(qu+pv-1)$ でもある。差を取れば $d\mid1$ となり、$d=1$ である。よって $p,q$ は互いに素である。

最終答案

$$\boxed{\text{問1 }(x,y)=(-3,2)}$$

$$\boxed{\text{問2 解は存在しない}}$$

$$\boxed{\text{問3 }X_{pq}\subseteq\{ab:a\in X_p,\ b\in X_q\}}$$

$$\boxed{\text{問4 }\gcd(p,q)=1}.$$

使用した解法

ユークリッドの互除法、3の倍数による整数方程式の判定、三角関数の加法定理と整数べき、共通約数の議論を用いた。