2東京医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

東京医科大学 2021年度 第2問

問題ID: MM-46546443605b-Q2

正の周期と共通周期

一般に、$\cos(u+\theta)=\cos u$ がすべての実数 $u$ で成り立つには $\theta=2\pi k$（$k\text{ は整数}$）であり、正弦についても同じである。実際、加法定理で $\cos u,\sin u$ の係数を比較すれば $\cos\theta=1,\ \sin\theta=0$ を得る。したがって $$A=\{18\pi k:k\text{ は整数},\ k>0\},\qquad B=\{24\pi \ell:\ell\text{ は整数},\ \ell>0\}.$$ よって $A$ の最小要素は $18\pi$。

共通要素について $18k=24\ell$、すなわち $3k=4\ell$。互いに素な3と4より $k=4r,\ \ell=3r$（$r$ は正整数）なので $$A\cap B=\{72\pi r:r=1,2,\ldots\}.$$ したがって最小要素 $p_0=72\pi$。また、$p\in A\cap B$ なら両項がそれぞれ周期 $p$ をもつので $$\displaystyle f(x+p)=3\cos\frac{x+p}{9}+4\sin\frac{x+p}{12} =3\cos\frac{x}{9}+4\sin\frac{x}{12}=f(x)$$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。ゆえに $p\in C$、すなわち $$A\cap B\subset C.$$ 空欄「あ」は記号⑥の $\subset$。

最大値とその位置

$\cos(x/9)\leq1,\ \sin(x/12)\leq1$ より $f(x)\leq3+4=7$。$x=54\pi$ では $$\displaystyle \cos\frac{54\pi}{9}=\cos6\pi=1,\qquad \sin\frac{54\pi}{12}=\sin\frac{9\pi}{2}=1,$$ だから $f(54\pi)=7$。従って最大値 $M=7$。

等号 $f(x)=7$ となるには、上の二つの上界がともに等号でなければならず、 $$\displaystyle \frac{x}{9}=2\pi r,\qquad \frac{x}{12}=\frac{\pi}{2}+2\pi s \quad(r,s\text{ は整数}).$$ すなわち $x=18\pi r=6\pi+24\pi s$、従って $$3r=1+4s.$$ これより $r\equiv3\pmod4$、$r=3+4k$（$k\text{ は整数}$）であり、 $$x=54\pi+72\pi k.$$ この形で正となる最小の $x$ は $54\pi$ なので $c=54\pi$。また最大値をとる点はすべて $c+kp_0$ の形である。

最後に、$p\in C$ なら $f(c+p)=f(c)=M$ だから、$c+p=c+kp_0$ となる整数 $k$ がある。よって $p=kp_0$。$p>0$ から $k$ は正整数なので $p\in A\cap B$。従って $C\subset A\cap B$ であり、先に示した包含と合わせて $$A\cap B=C.$$

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\min A=18\pi,\quad p_0=72\pi,\quad \text{あ}=\subset\ (⑥),\quad M=7,\quad c=54\pi,\quad \text{ク}=6}$$

使用解法

周期条件を三角関数の加法定理で判定し、最大値は各項の上界と等号条件で決定した。最大値をとる点の集合を連立条件で求め、周期集合の逆向き包含を示した。

issues

なし。