3東京医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

東京医科大学 2021年度 第3問

問題ID: MM-46546443605b-Q3

$\vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec b=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおくと、$|\vec a|=7,\ |\vec b|=8,\ |\vec b-\vec a|=9$。したがって $$81=|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b =49+64-2\vec a\cdot\vec b,$$ ゆえに $$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=16.$$ **(1)の答え：$16$。**

(2) 線分 $OP$ の最小値

$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\vec a+\frac1t\vec b$$ より $$\displaystyle \begin{aligned} OP^2 &=\left(t\vec a+\frac1t\vec b\right)\cdot \left(t\vec a+\frac1t\vec b\right)\\ &=49t^2+\frac{64}{t^2}+2(\vec a\cdot\vec b) =49t^2+\frac{64}{t^2}+32. \end{aligned}$$ $t>0$ に対し相加相乗平均より $$\displaystyle 49t^2+\frac{64}{t^2}\geq 2\sqrt{49t^2\cdot\frac{64}{t^2}}=112.$$ 従って $OP^2\geq144$、すなわち $OP\geq12$。等号は $49t^2=64/t^2$、つまり $t^2=8/7$ のとき成立し、これは正の $t$ で実現できる。**(2)の答え：$12$。**

(3) 線分 $OQ$ の最小値

$Q$ は直線 $OA$ 上にあるから $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda\vec a$ と書ける。垂直条件 $$\left(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\lambda\vec a\right)\cdot\vec a=0$$ から $$\displaystyle \lambda=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec a}{|\vec a|^2} =\frac{49t+16/t}{49} =t+\frac{16}{49t}>0.$$ したがって $$\displaystyle OQ=|\lambda\vec a|=7\lambda=7t+\frac{16}{7t}.$$ 相加相乗平均より $$\displaystyle 7t+\frac{16}{7t}\geq2\sqrt{7t\cdot\frac{16}{7t}}=8.$$ 等号は $7t=16/(7t)$、すなわち $t=4/7>0$ のとき実現する。**(3)の答え：$8$。**

最終答案

$$\boxed{(1)\ 16,\qquad (2)\ 12,\qquad (3)\ 8}$$

使用解法

内積の展開、ベクトルの長さの二乗、垂線の内積条件、相加相乗平均で最小値を求めた。

issues

なし。