4筑波大学 2010年 数学 第4問解答・解説

$\overrightarrow{OC}=(x,y)$、$\overrightarrow{OD}=(u,v)$ とおく。$\overrightarrow{OA}=(1,0)$、$\overrightarrow{OB}=(\cos\theta,\sin\theta)$ だから、条件は $$x=1,\quad u=0,\quad x\cos\theta+y\sin\theta=0,\quad u\cos\theta+v\sin\theta=1$$ となる。$\sin\theta>0$ より $\displaystyle y=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$、$\displaystyle v=\frac1{\sin\theta}$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OC}=\left(1,-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right),\qquad \overrightarrow{OD}=\left(0,\frac1{\sin\theta}\right).$$

$\triangle OAB$ では底辺 $OA$ の長さが1、高さが $\sin\theta$ なので $\displaystyle S_1=\frac{\sin\theta}{2}$。また $O,D$ は $y$ 軸上にあり、$C$ から $y$ 軸までの距離は1、$\displaystyle OD=\frac1{\sin\theta}$ だから $\displaystyle S_2=\frac1{2\sin\theta}$。よって $S_2=2S_1$ は $$\displaystyle \frac1{2\sin\theta}=\sin\theta\quad\text{すなわち}\quad \sin^2\theta=\frac12$$ と同値。範囲 $90^\circ<\theta<180^\circ$ では $\sin\theta>0$ であり、これを満たすのは $\theta=135^\circ$。したがって $$\displaystyle S_1=\frac{\sin135^\circ}{2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

$t=\sin\theta$ とおくと $t>0$ で $\displaystyle S=4S_1+3S_2=2t+\frac3{2t}$。ここで $$\displaystyle S-2\sqrt3=2t+\frac3{2t}-2\sqrt3 =\frac{(2t-\sqrt3)^2}{2t}\geq0.$$ 等号成立は $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}{2}$ のとき。指定範囲内では $\theta=120^\circ$ であり、そのとき $S=2\sqrt3$。