4東北大学 2011年 数学 第4問解答・解説

線分の中点と内分の式を位置ベクトルで表す。$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac12\vec b$ である。$R$ は線分 $AQ$ と線分 $BP$ の交点なので、$0\le s\le1$、$0\le u\le1$ を満たすある $s,u$ に対し $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=(1-s)\vec a+\frac{s}{2}\vec b =ut\vec a+(1-u)\vec b.$$ $0<\theta<\pi$ より $\vec a,\vec b$ は一次独立なので、係数を比較して $$\displaystyle 1-s=ut,\qquad \frac{s}{2}=1-u.$$ これを解くと $$\displaystyle u=\frac1{2-t},\qquad s=\frac{2(1-t)}{2-t},\qquad \overrightarrow{OR}=\frac{t}{2-t}\vec a+\frac{1-t}{2-t}\vec b.$$ $0<t<1$ より $0<u<1$ かつ $0<s<1$ であるから、この交点は両線分上にある。

また $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ であり、$|\vec a|=3,\ |\vec b|=2,\ \vec a\cdot\vec b=6\cos\theta$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{AB} &=\frac{t(\vec a\cdot\vec b-9)+(1-t)(4-\vec a\cdot\vec b)}{2-t}\\ &=\frac{6(2t-1)\cos\theta+4-13t}{2-t}. \end{aligned}$$ $2-t>0$ なので、$\overrightarrow{OR}\perp\overrightarrow{AB}$ となる条件は $$6(2t-1)\cos\theta+4-13t=0.$$ $\displaystyle t=\frac12$ では左辺が $\displaystyle -\frac52$ となり、垂直になる $\theta$ はない。$\displaystyle t\ne\frac12$ では、垂直となる角が存在するのは $$\displaystyle \cos\theta=\frac{13t-4}{6(2t-1)}$$ の右辺が-1より大きく1より小さいときである。したがって、$0<\theta<\pi$ を満たすどの $\theta$ に対しても垂直にならない条件は、$\displaystyle t=\frac12$ も含めて $$|13t-4|\ge 6|2t-1|.$$ 両辺を二乗すると $$(13t-4)^2-36(2t-1)^2=5(t+2)(5t-2)\ge0.$$ $0<t<1$ では $t+2>0$ だから $\displaystyle t\ge\frac25$。等号の $\displaystyle t=\frac25$ は $\cos\theta=-1$ の場合に限るが、$\theta=\pi$ は範囲外なので含まれる。よって求める範囲は $$\displaystyle \boxed{\frac25\le t<1}.$$